初中数学解答题

若方程 $\left|x^2+2x-1\right|=b$有四个互不相等的根，求 $b$的取值范围.

在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 $A,B$两种农作物为原料开发了一种有机产品. $A$原料的单价是 $B$原料单价的 $1.5$倍，若用 $900$元收购 $A$原料会比用900元收购 $B$原料少 $100\text{kg}$.生产该产品每盒需要 $A$原料 $2\text{kg}$和 $B$原料 $4\text{kg}$，每盒还需其他成本 $9$元.市场调查发现:该产品每盒的售价是 $60$元时，每天可以销售 $500$盒；每涨价 $1$元，每天少销售 $10$盒.

（1）求每盒产品的成本（成本 $=$原料费 $+$其他成本 $)$；

（2）设每盒产品的售价是 $x$元（ $x$是整数），每天的利润是 $w$元，求 $w$关于 $x$的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过 $a$元（ $a$是大于 $60$的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润.

红星公司销售一种成本为 $40$元/件的产品，若月销售单价不高于 $50$元 $/$件，一个月可售出 $5$万件；月销售单价每涨价 $1$元，月销售量就减少 $0.1$万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为 $x$（单位:元/件），月销售量为 $y$（单位:万件）.

（1）直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元?

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于 $70$元/件，月销售最大利润是 $78$万元，求 $a$的值.

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度（单位: $\mathrm{}\text{km}/\text{h}$）是车流密度（单位:辆 $/\text{km})$的函数.当桥上的车流密度达到 $200$辆 $/\text{km}$时，造成堵塞，此时车流速度为 $0$；当车流密度不超过 $20$辆 $/\text{km}$时，车流速度为 $60\text{km}/\text{h}$，研究表明:当 $0⩽x⩽200$时，车流速度是车流密度的一次函数.

（1）当 $0⩽x⩽200$时，求 $v$与 $x$之间的函数解析式 $v\left(x\right)$；

（2）当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位:辆 $/\text{h})f\left(x\right)=x\cdot v\left(x\right)$可以达到最大，并求出最大值（精确到辆 $/\text{h})$.

我区某镇地理位置偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售.我区政府对该花木产品每投资 $x$万元，所获利润为 $P=-\frac{1}{50}{(x-30)}^2+10$万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多 $50$万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出 $25$万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资 $x$万元可获利润 $Q=-\frac{49}{50}{(50-x)}^2+\frac{194}{5}\left(50-x\right)+308$万元.

（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?

（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?

（3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.

超市购进某种苹果，如果进价增加 $2$元 $/\text{kg}$要用300元；如果进价减少2元 $/\text{kg}$，同样数量的苹果只用 $200$元.

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过 $100\text{kg}$，就按原价购进；如果购进苹果超过 $100\text{kg}$，超过部分购进价格减少 $2$元 $/\text{kg}$，写出购进苹果的支出 $y($元 $)$与购进数量 $x\left(\text{kg}\right)$之间的函数关系式；

（3）超市一天购进苹果数量不超过 $300\text{kg}$，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价 $z($元 $/\text{kg})$与一天销售数量 $x\left(\text{kg}\right)$的关系为 $z=-\frac{1}{100}x+12$.在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润 $w$（元）最大，求一天购进的苹果数量.（利润=销售收入-购进支出）

我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一轾，即三角形的三边长分别为 $a,b,c$，记 $p=\frac{a+b+c}{2}$，则其面积 $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.这个公式也被称为海伦秦九韶公式.若 $p=5,c=4$，求此三角形面积的最大值.

已知 $x,y,z$均为非负数且满足 $x=y+z-1=4-y-2x$.

（1）用 $x$表示 $y,z$；

（2）求 $u=2x^2-2y+z$的最小值.

已知函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{13}{2}$，当 $a⩽x⩽b$时， $y$的最小值为 $2a$，最大值为 $2b$，求 $a,b$的值.

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象的一部分如图所示，试确定 $a$的取值范围.

已知二次函数 $y=x^2-x-2$及实数 $a>-2$.求:

（1）函数在 $-2<x⩽a$的最小值；

（2）函数在 $a⩽x⩽a+2$的最小值.

已知抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $\left(0,-2\right)$，当 $x<-4$时， $y$随 $x$的增大而增大，当 $x>-4$时， $y$随 $x$的增大而减小.设 $r$是抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m=\frac{r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1}{r^9+60r^5-1}$.

（1）求 $b,c$的值；

（2）求证: $\mathrm{}{r}^4-2r^2+1=60r^2$；

（3）以下结论: $m<1,m=1,m>1$，你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.

在平面直角坐标系 $\mathit{xoy}$中，抛物线 $y=m{x}^2-2\mathit{mx}-3\left(m\ne 0\right)$与 $x$轴交于 $A\left(3,0\right),B$两点.

（1）求抛物线的解析式及点 $B$的坐标；

（2）当 $-2<x<3$时的函数图象记为 $G$，求此时函数 $y$的取值范围；

（3）在（2）的条件下，将图象 $G$在 $x$轴上方的部分沿 $x$轴翻折，图象 $G$的其余部分保持不变，得到一个新图象 $M$.若经过 $C\left(4,2\right)$点的直线 $y=\mathit{kx}+b\left(k\ne 0\right)$与图象 $M$在第三象限内有两个公共点，结合图象，求 $b$的取值范围.

如图，在 $\Delta ABC$中， $\angle \mathit{ABC}=30°,\mathit{AB}=p,\mathit{BC}=q$，且 $p,q$是关于 $x$的方程 $x^2-\mathit{mx}+3m=0$的两个实数根，若 $|p+2q|=\frac{1}{3}\mathit{pq}+6$，试在 $\mathit{\Delta ABC}$内找一点 $P$，使点 $P$到 $A,B,C$三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由.

如图①. $\Delta ABC,\Delta AED$都是等腰直角三角形， $\angle \mathit{ABC}=\angle E=90°,$ $\mathit{AE}=a$. $A=b$，且 $a<b$，点 $D$在 $\mathit{AC}$上，连接 $\mathit{BD},\mathit{BD}=c$.

（1）如果 $c=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.

①求 $\frac{a}{b}$的值；②若 $a,b$是关于 $x$的方程 $x^2-\mathit{mx}+\frac{1}{25}{m}^2-\frac{2}{5}m+\frac{3}{5}=0$的两实数根，求 $m$的值；

（2）如图②，将 $\Delta ADE$绕点 $A$逆时针旋特，使 $\mathit{BE}=100$，连接 $\mathit{DC}$.求五边形 $\mathit{ABCDE}$的面积.