初中数学解答题

计算： $\left|-\sqrt{3}\right|$ $-(\frac{1}{3}{)}^{-\frac{1}{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}-1}-12^{\frac{1}{2}}$．

为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少 $23$元，且 $84$元购买绳子的数量与 $360$元购买实心球的数量相同．

（1）绳子和实心球的单价各是多少元？

（2）如果本次购买的总费用为 $510$元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有 　 　人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是 　 　；

（4）若该校有 $2700$名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．

如图，直线 $AB$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}（k＞0，x＞0）$的图象相交于点 $A$和点 $C（3,2）$，与 $x$轴的正半轴相交于点 $B$．

（1）求 $k$的值；

（2）连接 $OA，OC$，若点 $C$为线段 $AB$的中点，求 $△AOC$的面积．

新定义：我们把抛物线 $y＝a{x}^2+bx+c$（其中 $ab\ne 0$）与抛物线 $y＝b{x}^2+ax+c$称为“关联抛物线”．例如：抛物线 $y＝2x^2+3x+1$的“关联抛物线”为： $y＝3x^2+2x+1$．已知抛物线 $C_1：y＝4a{x}^2+ax+4a﹣3（a\ne 0）$的“关联抛物线”为 $C_2$．

（1）写出 $C_2$的解析式（用含 $a$的式子表示）及顶点坐标；

（2）若 $a＞0$，过 $x$轴上一点 $P$，作 $x$轴的垂线分别交抛物线 $C_1$， $C_2$于点 $M，N$．

①当 $MN＝6a$时，求点 $P$的坐标；

②当 $a﹣4\le x\le a﹣2$时， $C_2$的最大值与最小值的差为 $2a$，求 $a$的值．

遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高 $20\%$，用 $30000$元购买A型设备的数量比用 $15000$元购买B型设备的数量多 $4$台．

（1）求A，B型设备单价分别是多少元；

（2）该校计划购买两种设备共 $50$台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的 $\frac{1}{3}$．设购买a台A型设备，购买总费用为 $w$元，求 $w$与 $a$的函数关系式，并求出最少购买费用．

如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2， $AB$是灯杆， $CD$是灯管支架，灯管支架 $CD$与灯杆间的夹角 $\angle BDC＝60°$．综合实践小组的同学想知道灯管支架 $CD$的长度，他们在地面的点 $E$处测得灯管支架底部 $D$的仰角为 $60°$，在点 $F$处测得灯管支架顶部 $C$的仰角为 $30°$，测得 $AE＝3m，EF＝8m$（ $A，E，F$在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：

（1）求灯管支架底部距地面高度 $AD$的长（结果保留根号）；

（2）求灯管支架 $CD$的长度（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73$）．

将正方形 $ABCD$和菱形 $EFGH$按照如图所示摆放，顶点 $D$与顶点 $H$重合，菱形 $EFGH$的对角线 $HF$经过点 $B$，点 $E，G$分别在 $AB，BC$上．

（1）求证： $△ADE≌△CDG$；

（2）若 $AE＝BE＝2$，求 $BF$的长．

如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是 $﹣6，﹣1，8$，转盘乙上的数字分别是 $﹣4，5，7$（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．

（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是＿＿＿＿＿；转盘乙指针指向正数的概率是＿＿＿＿＿．

（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为 $a$，转盘乙指针所指的数字记为 $b$，请用列表法或树状图法求满足 $a+b＜0$的概率．

（1）计算： $（\frac{1}{2}{）}^{﹣1}﹣2\tan 45°+$ $\left|1-\sqrt{2}\right|$；

（2）先化简 $\left(\frac{\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2-4}+\frac{1}{2-\mathrm{a}}\right)$ $÷\frac{2\mathrm{a}+4}{{\mathrm{a}}^2+4\mathrm{a}+4}$，再求值，其中 $a=\sqrt{3}+2$．

已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．

（1）m＝　 　，n＝　 　；

（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；

（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．

党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．

根据以上信息回答下列问题：

（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是 　 　年；

（2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是 　 　；

（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了 　 　件，专利授权量年增长率提高了 　 　个百分点；（注：1%为1个百分点）

（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．

①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小． 　　

②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率 $=\frac{\mathit{当年专利授权量}-\mathit{上一年专利授权量}}{\mathit{上一年专利授权量}}\times 100\%$，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加． 　 　

③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量． 　 　

如图，在Rt△ABC中， $\angle ABC＝90°$， $AB＜BC$．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{EC}}=\frac{1}{4}$，则 $\tan \angle BCF$的值为 　 　．

图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

（1）网格中△ABC的形状是 　 　；

（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；

（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；

（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．

为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？