初中数学解答题

如图,一次函数 $y=\mathit{ax}+b\left(a\ne 0\right)$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象交于 $A,B$两点,与 $x$轴交于点 $C$,与 $y$轴交于点 $D$,已知 $\mathit{OA}=2\sqrt{5},\text{tan}\angle \mathit{AOC}=\frac{1}{2}$,点 $B$的坐标是 $\left(m-4\right)$.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式;

（2）若点 $E$在坐标轴上,且使得 $S_{△\mathit{AED}}=3S_{△\mathit{ACE}}$,求点 $E$的坐标.

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k>0)$的图象与 $x$轴, $y$轴分别交于 $A,B$两点,且与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$图象的一个交点为 $P\left(1,m\right)$.

（1）求 $m$的值;

（2）若 $\mathit{PA}=2\mathit{AB}$,求 $k$的值.

已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中,点 $A$是反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$图象上的一个动点,连接 $\mathit{AO},\mathit{AO}$的延长线交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x<0)$的图象于点 $B$,过点 $A$作 $\mathit{AE}\perp y$轴于点 $E$.

（1）如图①,过点 $B$作 $\mathit{BF}\perp x$轴于点 $F$,连接 $\mathit{EF}$.

①若 $k=1$,求证:四边形 $\mathit{AEFO}$是平行四边形;

②连接 $\mathit{BE}$,若 $k=4$,求 $△\mathit{BOE}$的面积.

（2）如图②,过点 $E$作 $\mathit{EP}//\mathit{AB}$,交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x<0)$的图象于点 $P$,连接 $\mathit{OP}$.试探究:对于确定的实数 $k$,动点 $A$在运动过程中, $△\mathit{POE}$的面积是否会发生变化?请说明理由.

如图,直线 $y=\frac{3}{4}x+6$与 $x$轴交于点 $A$,与 $y$轴交于点 $B$.直线 $\mathit{MN}//\mathit{AB}$,且与 $△\mathit{AOB}$的外接圆 $\odot P$相切,与双曲线 $y=-\frac{30}{x}$在第二象限内的图象交于 $C,D$两点.

（1）求点 $A,B$的坐标和 $\odot P$的半径;

（2）求直线 $\mathit{MN}$所对应的函数解析式;

（3）求 $△\mathit{BCN}$的面积.

如图，点 $P$为 $x$轴负半轴上的一个点，过点 $P$作 $x$轴的垂线，交函数 $y=-\frac{1}{x}$的图象于点 $A$，交函数 $y=-\frac{4}{x}$的图象于点 $B$，过点 $B$作 $x$轴的平行线，交 $y=-\frac{1}{x}$于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$.

（1）当点 $P$的坐标为 $\left(-1,0\right)$时，求 $△\mathit{ABC}$的面积；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，求点 $A$的坐标；

（3）连接 $\mathit{OA}$和 $\mathit{OC}$.当点 $P$的坐标为 $\left(t,0\right)$时， $△\mathit{OAC}$的面积是否随 $t$的值的变化而变化?请说明理由.

如图，在矩形 $\mathit{AOBC}$中，已知 $B\left(4,0\right),A\left(0,3\right),F$是边 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B,C$ 重合），过 $F$点的反比例函数 $y=\mathit{kx}(k>0)$的图象与 $\mathit{AC}$边交于点 $E$.

（1）求证: $△\mathit{AOE}$与 $△\mathit{BOF}$的面积相等；

（2）记 $S=S_{△\mathit{OEF}}-S_{△\mathit{ECF}}$，求当 $k$为何值时， $S$有最大值，最大值为多少?

如图，在平面直角坐标系中。已知四边形 $ABCD$为菱形，且 $A\left(0,3\right),B\left(-4.0\right)$.

（1）求过点 $C$的反比例函数解析式；

（2）设直线 $l$与（1）中所求函数图象相切，且与 $x$轴， $y$轴的交点分别为 $M,N.O$为坐标原点.求证: $△\mathit{OMN}$的面积为定值.

如图， $△\mathit{AOB}$中， $\angle \mathit{ABO}={90}^{\circ }$，边 $\mathit{OB}$在 $x$轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过斜边 $\mathit{OA}$的中点 $M$，与 $\mathit{AB}$相交于点N， $S_{△\mathit{AOB}}=12,\mathit{AN}=\frac{9}{2}$.

（1）求 $k$的值；

（2）求直线 $\mathit{MN}$的解析式.

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y=2x$的图象 $l$与函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象（记为 $\text{Γ})$交于点 $A$，过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp y$轴于点 $B$，且 $\mathit{AB}=1$，点 $C$在线段 $\mathit{OB}$上（不含端点），且 $\mathit{OC}=t$，过点 $C$作直线 $l_1//x$轴，交 $l$于点 $D$，交图象 $\text{Γ}$于点 $E$.

（1）求 $k$的值，并且用含 $t$的式子表示点 $D$的横坐标；

（2）连接 $\mathit{OE},\mathit{BE},\mathit{AE}$，记 $△\mathit{OBE},△\mathit{ADE}$的面积分别为 $S_1,S_2$，设 $U=S_1-S_2$，求 $U$的最大值.

如图，正比例函数 $y=x$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象交于点 $A\left(1,a\right)$.在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{CA}=\mathit{CB}$，点 $C$坐标为 $\left(-2,0\right)$.

（1）求 $k$的值；

（2）求 $\mathit{AB}$所在直线的解析式.

口袋中有 $4$个相同的小球，它们分别写有数字 $2,3,4,5$，从口袋中随机取出两个球，用所得的两个数 $a$和 $b$构成函数 $y=\mathit{ax}-2$和 $y=x+b$，求使这两个函数的交点在直线 $x=2$右侧的概率.

假设有一个正八面体的骰子，八个面上分别写上了 $1,2,3,4,5,6,7,8$这 $8$个数字，每一次投掷这个骰子，出现这 $8$个数字的机会都是一样的.若将骰子掷三次，依次记录朝上的面上三次出现的数字，设出现的数字中最大的一个用 $m$表示，最小的一个用 $n$表示.

（1）令 $t=m-n$，求 $t$的取值范围;

（2）求 $t=3$的概率.

在一个不透明的布袋里装有 $4$个标有 $1,2,3,4$的小球，它们的形状、大小完全相同.小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 $x$，小红在剩下的 $3$个小球中随机取出一个小球，记下数字为 $y$，这样确定了点 $Q$的坐标 $\left(x,y\right)$.

（1）画树状图或列表，写出点 $Q$所有可能的坐标;

（2）求点 $Q\left(x,y\right)$在函数 $y=-x+5$的图象上的概率;

（3）小明和小红约定做一个游戏，其规则为:若 $x,y$满足 $\mathit{xy}>6$则小明胜;若 $x,y$满足 $\mathit{xy}<6$则小红胜，这个游戏公平吗?说明理由;若不公平，请写出公平的游戏规则.

甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次.

（1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少?

（2）若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中?请说明理由.

一个家庭有 $3$个孩子.

（1）求这个家庭有 $2$个男孩和 $1$个女孩的概率;

（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率.