如图，在矩形AOBC中，已知B4,0,A0,3,F是边BC上

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更新 2023-05-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在矩形 $AOBC$ 中，已知 $B (4, 0), A (0, 3), F$ 是边 $BC$ 上的一个动点（不与点 $B, C$ 重合），过 $F$ 点的反比例函数 $y = kx (k > 0)$ 的图象与 $AC$ 边交于点 $E$ .

（1）求证: $△ AOE$ 与 $△ BOF$ 的面积相等；

（2）记 $S = S_{△ OEF} - S_{△ ECF}$ ，求当 $k$ 为何值时， $S$ 有最大值，最大值为多少?

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某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．

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（2）补全条形统计图；

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综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，E是BC的中点， $A E ⊥ E P$ ， $E P$ 与正方形的外角 $∠ D C G$ 的平分线交于 $P$ 点．试猜想 $A E$ 与 $E P$ 的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取 $A B$ 的中点 $F$ ，连接 $E F$ 可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一动点（点 $E ， B$ 不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P ＝ 90 °$ ，连接 $C P$ ，可以求出 $∠ D C P$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一动点（点 $E ， B$ 不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P ＝ 90 °$ ，连接 $D P$ ．知道正方形的边长时，可以求出 $△ A D P$ 周长的最小值．当 $A B ＝ 4$ 时，请你求出 $△ A D P$ 周长的最小值．

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在平面直角坐标系中， $P （ a ， b ）$ 是第一象限内一点，给出如下定义： $k_{1} = \frac{a}{b}$ 和 $k_{2} = \frac{b}{a}$ 两个值中的最大值叫做点 $P$ 的“倾斜系数” $k$ ．

（1）求点 $P （ 6 ， 2 ）$ 的“倾斜系数” $k$ 的值；

（2）①若点 $P （ a ， b ）$ 的“倾斜系数” $k ＝ 2$ ，请写出 $a$ 和 $b$ 的数量关系，并说明理由；

②若点 $P （ a ， b ）$ 的“倾斜系数” $k ＝ 2$ ，且 $a + b ＝ 3$ ，求 $O P$ 的长；

（3）如图，边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 沿直线 $A C ： y ＝ x$ 运动， $P （ a ， b ）$ 是正方形 $A B C D$ 上任意一点，且点 $P$ 的“倾斜系数” $k ＜ \sqrt{3}$ ，请直接写出 $a$ 的取值范围．

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