初中数学解答题

若 $\frac{1}{3-\sqrt{7}}$的整数部分是 $a$，小数部分是 $b$，求 $a^2+\left(1+\sqrt{7}\right)\mathit{ab}$的值.

如图，在平面直角坐标系中， $△\mathit{AOB}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，且线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-4x-5=0$的根，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp x$轴，垂足为 $E,\text{tan}\angle \mathit{BAE}=\frac{4}{3}$，动点 $M$以每秒 $1$个单位长度的速度，从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，到达点 $B$停止.过点 $M$作 $x$轴的垂线，垂足为 $D$，以 $\mathit{MD}$为边作正方形 $\mathit{MDCF}$，点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上，设正方形 $\mathit{MDCF}$与 $△\mathit{AOB}$重叠部分的面积为 $S$，点 $M$的运动时间为 $t(t>0)\text{s}$.

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数解析式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当点 $F$落在线段 $\mathit{OB}$上时，坐标平面内是否存在一点 $P$，使以 $M,A,O,P$为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，已知二次函数的图象与 $x$轴交于 $A$和 $B\left(-3,0\right)$两点，与 $y$轴交于 $C\left(0,-3\right)$，对称轴为直线 $x=-1$，直线 $y=-2x+m$经过点 $A$，且与 $y$轴交于点 $D$，与抛物线交于点 $E$，与对称轴交于点 $F$.

（1）求抛物线的解析式和 $m$的值；

（2）在 $y$轴上是否存在点 $P$，使得以 $D,E,P$为顶点的三角形与 $△\mathit{AOD}$相似，若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线 $y=1$上有 $M,N$两点 $(M$在 $N$的左侧 $)$，且 $\mathit{MN}=2$，若将线段 $\mathit{MN}$在直线 $y=1$上平移，当它移动到某一位置时，四边形 $\mathit{MEFN}$的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）.

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆” $\mathit{AP},\mathit{BP}$的连接点 $P$在 $\odot O$上，当点 $P$在 $\odot O$上转动时，带动点 $A,B$分别在射线 $\mathit{OM},\mathit{ON}$上滑动， $\mathit{OM}\perp \mathit{ON}$.当 $\mathit{AP}$与 $\odot O$相切时，点 $B$恰好落在 $\odot O$上，如图②.请仅就图②的情形解答下列问题.

（1）求证: $\angle \mathit{PAO}=2\angle \mathit{PBO}$；

（2）若 $\odot O$的半径为 $5,\mathit{AP}=\frac{20}{3}$，求 $\mathit{BP}$的长.

如图，已知 $\odot O$是四边形 $\mathit{ABCD}$的外接圆，直线 $\mathit{AD},\mathit{BC}$相交于点 $E,F$是弦 $\mathit{CD}$的中点，延长直线 $\mathit{EF}$交弦 $\mathit{AB}$于点 $G$，求证:

（1） $\mathit{ED}\cdot \mathit{EA}=\mathit{EC}\cdot \mathit{EB}$；

（2） $\mathit{AG}:\mathit{GB}=A{E}^2:B{E}^2$.

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$，点 $E$是 $\mathit{BC}$边上一点，将 $△\mathit{ABE}$沿直线 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$落在 $F$处，连接 $\mathit{BF}$并延长，与 $\angle \mathit{DAF}$的平分线相交于点 $H$，与 $\mathit{AE},\mathit{CD}$分别相交于点 $G$， $M$，连接 $\mathit{HC}$.

（1）求证: $\mathit{AG}=\mathit{GH};$

（2）若 $\mathit{AB}=3,\mathit{BE}=1$，求点 $D$到直线 $\mathit{BH}$的距离；

（3）当点 $E$在 $\mathit{BC}$边上（端点除外）运动时， $\angle \mathit{BHC}$的大小是否变化?为什么?

如图所示，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle C={90}^{\circ },\angle \mathit{BAC}={30}^{\circ },\mathit{BC}=1,D$为 $\mathit{BC}$边上一点， $\text{tan}\angle \mathit{ADC}$是方程 $3\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)=2$的一个较大的根，求 $\mathit{CD}$的长

如图，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴交于点 $C$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{4}x+c$经过 $B\mathrm{，}C$两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点 $E$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一动点，当 $△\mathit{BEC}$面积最大时，请求出点 $E$的坐标和 $△\mathit{BEC}$面积的最大值?

如图，点 $P$是等边三角形 $\mathit{ABC}$内一点，且 $\mathit{PA}=3\mathrm{，}\mathit{PB}=4\mathrm{，}\mathit{PC}=5$，若将 $△\mathit{APB}$绕着点 $B$逆时针旋转后得到 $△\mathit{CQB}$.

（1）求点 $P$与点 $Q$之间的距离；

（2）求 $\angle \mathit{APB}$的度数.

已知 $x_1\mathrm{，}{x}_2$是关于 $x$的一元二次方程 $x^2+\mathrm{（}3a-1\mathrm{）}x+2a^2-1=0$的两个实数根，使得 $\left(3x_1-x_2\right)\left(x_1-3x_2\right)=-80$成立.求实数 $a$的所有可能值.

$A\mathrm{，}B$两个水管同时开始向一个空容器内注水.如图是 $A\mathrm{，}B$两个水管各自的注水量 $y\left({\mathrm{m}}^3\right)$与注水时间 $x\left(\mathrm{h}\right)$之间的函数图象，已知 $B$水管的注水速度是 $1{\mathrm{m}}^3/\mathrm{h}$， $1$小时后， $A$水管的注水量随时间的变化是一段抛物线，其顶点是 $\left(1\mathrm{，}2\right)$，且注水 $9$小时，容器刚好注满.请根据图象所提供的信息解答下列问题:

（1）直接写出 $A\mathrm{，}B$注水量 $y\left({\mathrm{m}}^3\right)$与注水时间 $x\left(\mathrm{h}\right)$之间的函数解解析式，并注明自变量的取值范围；

$y_B=$__________（ ）， $y_A\left\{\begin{array}{c}\\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\end{array}\right.$

（2）求容器的容量；

（3）根据图象，通过计算回答，当 $y_A>y_B$时，直接写出 $x$的取值范围.

在Rt $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AB}=5\mathrm{，}\mathit{BC}=3$，将 $\mathit{ABC}$绕点 $B$顺时针旋转得到 $△A^{\text{'}}B{C}^{\text{'}}$，其中点 $A\mathrm{，}C$的对应点分别为点 $A^{\text{'}}\mathrm{，}{C}^{\text{'}}$.

（1）如图①，当点 $A^{\text{'}}$落在 $\mathit{AC}$的延长线上时，求 $A{A}^{\text{'}}$的长；

（2）如图②，当点 $C^{\text{'}}$落在 $\mathit{AB}$的延长线上时，连接 $C{C}^{\text{'}}$交 $A^{\text{'}}B$于点 $M$，求 $\mathit{BM}$的长；

（3）如图③，连接 $A{A}^{\text{'}}\mathrm{，}C{C}^{\text{'}}$，直线 $C{C}^{\text{'}}$交 $A{A}^{\text{'}}$于点 $D$，点 $E$为 $\mathit{AC}$的中点，连接 $\mathit{DE}$.在旋转过程中， $\mathit{DE}$是否存在最小值?若存在，求出 $\mathit{DE}$的最小值；若不存在，请说明理由.

已知平面直角坐标系中，点 $P\left(x_0\mathrm{，}{y}_0\right)$和直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$（其中 $A\mathrm{，}B$不全为0 $\mathrm{）}$，则点 $P$到直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$的距离 $d$可用公式 $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$来计算.

例如:求点 $P\mathrm{（}1\mathrm{，}2\mathrm{）}$到直线 $y=2x+1$的距离，因为直线 $y=2x+1$可化为 $2x-y+1=0$，其中 $A=2\mathrm{，}B=-1\mathrm{，}C=1$，所以点 $P\mathrm{（}1\mathrm{，}2\mathrm{）}$到直线 $y=2x+1$的距离为 $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|2\times 1+\mathrm{（}-1\mathrm{）}\times 2+1|}{\sqrt{2^2+\mathrm{（}-1{\mathrm{）}}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.根据以上材料，解答下列问题:

（1）求点 $M\mathrm{（}0\mathrm{，}3\mathrm{）}$到直线 $y=\sqrt{3}x+9$的距离；

（2）在（1）的条件下， $\odot M$的半径 $r=4$，判断 $\odot M$与直线 $y=\sqrt{3}x+9$的位置关系，若相交，设其弦长为 $n$，求 $n$的值；若不相交，说明理由.

如图①，在， $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$中，以下是小亮探究 $\frac{a}{\sin A}$与 $\frac{b}{\sin B}$之间关系的方法:

$\because \sin A=\frac{a}{c}\mathrm{，}\sin B=\frac{b}{c}\mathrm{，}\therefore c=\frac{a}{\sin A}\mathrm{，}c=\frac{b}{\sin B}\mathrm{，}\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\text{.}$

根据你掌握的三角函数知识.在图②）的锐角 $△\mathit{ABC}$中，探究 $\frac{a}{\sin A}\mathrm{，}\frac{b}{\sin B}\mathrm{，}\frac{c}{\sin C}$之间的关系，并写出探究过程.

在 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{ABC}=\alpha$，点 $P$在 $△\mathit{ABC}$的内部.

（1）如图①， $\mathit{AB}=2\mathit{AC}\mathrm{，}\mathit{PB}=3$，点 $M\mathrm{，}N$分别在 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$边上，则 $\cos \alpha =\_\_\_\_\_\_\_\_\mathrm{，}△\mathit{PMN}$周长的最小值为________.

（2）如图②，若条件 $\mathit{AB}=2\mathit{AC}$不变，而 $\mathit{PA}=\sqrt{2}\mathrm{，}\mathit{PB}=\sqrt{10}\mathrm{，}\mathit{PC}=1$，求 $△\mathit{ABC}$的面积；

（3）若 $\mathit{PA}=m\mathrm{，}\mathit{PB}=n\mathrm{，}\mathit{PC}=k$，且 $k=m\cos \alpha =n\sin \alpha$，直接写出 $\angle \mathit{APB}$的度数.