在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆” $\mathit{AP},\mathit{BP}$的连接点 $P$在 $\odot O$上，当点 $P$在 $\odot O$上转动时，带动点 $A,B$分别在射线 $\mathit{OM},\mathit{ON}$上滑动， $\mathit{OM}\perp \mathit{ON}$.当 $\mathit{AP}$与 $\odot O$相切时，点 $B$恰好落在 $\odot O$上，如图②.请仅就图②的情形解答下列问题.

（1）求证: $\angle \mathit{PAO}=2\angle \mathit{PBO}$；

（2）若 $\odot O$的半径为 $5,\mathit{AP}=\frac{20}{3}$，求 $\mathit{BP}$的长.