在 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{ABC}=\alpha$，点 $P$在 $△\mathit{ABC}$的内部.

（1）如图①， $\mathit{AB}=2\mathit{AC}\mathrm{，}\mathit{PB}=3$，点 $M\mathrm{，}N$分别在 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$边上，则 $\cos \alpha =\_\_\_\_\_\_\_\_\mathrm{，}△\mathit{PMN}$周长的最小值为________.

（2）如图②，若条件 $\mathit{AB}=2\mathit{AC}$不变，而 $\mathit{PA}=\sqrt{2}\mathrm{，}\mathit{PB}=\sqrt{10}\mathrm{，}\mathit{PC}=1$，求 $△\mathit{ABC}$的面积；

（3）若 $\mathit{PA}=m\mathrm{，}\mathit{PB}=n\mathrm{，}\mathit{PC}=k$，且 $k=m\cos \alpha =n\sin \alpha$，直接写出 $\angle \mathit{APB}$的度数.