初中数学解答题

在 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AC}=2\mathit{AB}$，点 $D\mathrm{，}P$分别是 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$的中点， $△\mathit{ADE}$是等腰三角形， $\angle \mathit{AED}={90}^{\circ }$，连接 $\mathit{BE}\mathrm{，}\mathit{EC}$.

（1）判断线段 $\mathit{BE}$和 $\mathit{EC}$的关系，并证明你的结论；

（2）连接 $\mathit{PA}\mathrm{，}\mathit{PE}$，过点 $A$作 $\mathit{AM}//\mathit{PE}$，过点 $E$作 $\mathit{EM}//\mathit{PA}\mathrm{，}\mathit{AM}$和 $\mathit{EM}$相交于点 $M$，在图中先补充图形，再判断四边形 $\mathit{PAME}$的形状，并证明你的结论.

已知，如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $F$为边 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{DF}$与对角线 $\mathit{AC}$交于点 $M$，过 $M$作 $\mathit{ME}\perp \mathit{CD}$于点 $E\mathrm{，}\angle 1=\angle 2$.

（1）若 $\mathit{CE}=1$，求 $\mathit{BC}$的长；

（2）求证： $\mathit{AM}=\mathit{DF}+\mathit{MF}$.

现有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$（如图）。其中 $\mathit{AB}=4\mathrm{cm}\mathrm{，}\mathit{BC}=6\mathrm{cm}$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，将纸片沿直线 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$落在四边形 $\mathit{AECD}$内，记为点 $B^{\text{'}}$，求线段 $B^{\text{'}}C$的长.

已知 $a^4+b^4+c^4+d^4=4\mathit{abcd}$，判定以 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c\mathrm{，}d$为边的四边形的形状.

如图，在 $\mathit{▱}\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=2\mathit{AB}\mathrm{，}M$是 $\mathit{AD}$的中点， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，求证： $\angle \mathit{DME}=3\angle \mathit{AEM}$.

如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{CD}\mathrm{，}E\mathrm{，}F$分别是 $\mathit{BC}\mathrm{，}\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$并延长，分别与 $\mathit{BA}\mathrm{，}\mathit{CD}$的延长线交于点 $M\mathrm{，}N$，则 $\angle \mathit{BME}=\angle \mathit{CNE}$.

（温馨提示：在图①中，连接 $\mathit{BD}$，取 $\mathit{BD}$的中点 $H$，连接 $\mathit{HE}\mathrm{，}\mathit{HF}$，根据三角形中位线定理，证明 $\mathit{HE}=\mathit{HF}$，从而 $\angle 1=\angle 2$，再利用平行线性质，可证 $\angle \mathit{BME}=\angle \mathit{CNE}$.）

（1）如图②，在四边形 $\mathit{ADBC}$中， $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $O\mathrm{，}\mathit{AB}=\mathit{CD}\mathrm{，}E\mathrm{，}F$分别是 $\mathit{BC}\mathrm{，}\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$，分别交 $\mathit{DC}\mathrm{，}\mathit{AB}$于点 $M\mathrm{，}N$，判断 $△\mathit{OMN}$的形状，并给予证明；

（2）如图③，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AC}>\mathit{AB}\mathrm{，}D$点在 $\mathit{AC}$上， $\mathit{AB}=\mathit{CD}\mathrm{，}E\mathrm{，}F$分别是 $\mathit{BC}\mathrm{，}\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$并延长，与 $\mathit{BA}$的延长线交于 $G$，若 $\angle \mathit{EFC}={60}^{\circ }$，连接 $\mathit{GD}$，判断 $△\mathit{AGD}$的形状并证明.

如图，在 $\mathit{▱}\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}={75}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$于 $F\mathrm{，}\mathit{AF}$交 $\mathit{BD}$于 $E$，若 $\mathit{DE}=2\mathit{AB}$，求 $\angle \mathit{AED}$的大小.

设 $a,b,c,d$为正实数， $a<b,c〈d,\mathit{bc}〉\mathit{ad}$，有一个三角形的三边长分别为 $\sqrt{a^2+c^2},\sqrt{b^2+d^2},\sqrt{{(b-a)}^2+{(d-c)}^2}$，求此三角形的面积.

几何模型：

条件：如图①， $A,B$. 是直线 $l$同旁的两个定点

问题：在直线 $l$上确定一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值最小.

方法：作点 $A$关于直线 $l$的对称点 $A^{\text{'}}$，连接 $A^{\text{'}}B$交 $l$于点 $P$，则 $\mathit{PA}+\mathit{PB}=A^{\text{'}}B$的值最小（不必证明）.

模型应用：

（1）如图②，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $2$， $E$为 $\mathit{AB}$的中点， $P$是 $\mathit{AC}$上一动点.连接 $\mathit{BD}$，由正方形对称性可知， $B$与 $D$关于直线 $\mathit{AC}$对称.连接 $\mathit{ED}$交于 $\mathit{AC}$于 $P$，则 $\mathit{PB}+\mathit{PE}$的最小值是＿＿＿＿＿；

（2）如图③， $\angle \mathit{AOB}=45°,P$是 $\angle \mathit{AOB}$内一点， $\mathit{PO}=10,Q,R$分别是 $\mathit{OA},\mathit{OB}$上的动点，求 $△\mathit{PQR}$周长的最小值.

如图所示， $C$为线段 $\mathit{BD}$上一动点，分别过点 $B,D$作 $\mathit{AB}\perp \mathit{BD}$， $\mathit{ED}\perp \mathit{BD}$，连接 $\mathit{AC},\mathit{EC}$.已知 $\mathit{AB}=5,\mathit{DE}=1,\mathit{BD}=8$，设 $\mathit{CD}=x$.

（1）用含 $x$的代数式表示 $\mathit{AC}+\mathit{CE}$的长；

（2）请问点 $C$满足什么条件时， $\mathit{AC}+\mathit{CE}$的值最小?

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{{(12-x)}^2+9}$的最小值.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°,\mathit{AB}=\mathit{AC},E,F$分别是 $\mathit{BC}$上两点，若 $\angle \mathit{EAF}=45°$，试判断 $\mathit{BE},\mathit{CF},\mathit{EF}$之间的数量关系，并说明理由.

已知 $△\mathit{ABC}$为等腰直角三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC},D$为斜边 $\mathit{BC}$的中点， $E,F$分别是 $\mathit{AB},\mathit{AC}$边上的点，且 $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$.若 $\mathit{BE}=12,\mathit{CF}=5$.求 $△\mathit{DEF}$的面积.

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=30°,\angle \mathit{ADC}=60°,\mathit{AD}=\mathit{DC}$.证明: $B{D}^2=A{B}^2+B{C}^2$.

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于 $D$，设 $\mathit{AC}=b,\mathit{BC}=a$， $\mathit{AB}=c,\mathit{CD}=h$.

求证：（1） $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$；

（2） $a+b<c+h$；

（3）以 $a+b,h,c+h$为边的三角形是直角三角形.

张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表.

（1）请你分别观察 $a,b,c$与 $n$之间的关系，并用含自然数 $n(n>1)$的代数式表示: $a=$ _________， $b=$_________， $c=$_________.

（2）猜想：以 $a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想.