在Rt△ABC中，∠BAC90∘，AC2AB，点D，P分别是

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更新 2023-05-22
科目数学
题型解答题
难度中等
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在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ BAC = 90^{\circ} ， AC = 2 AB$ ，点 $D ， P$ 分别是 $AC$ ， $BC$ 的中点， $△ ADE$ 是等腰三角形， $∠ AED = 90^{\circ}$ ，连接 $BE ， EC$ .

（1）判断线段 $BE$ 和 $EC$ 的关系，并证明你的结论；

（2）连接 $PA ， PE$ ，过点 $A$ 作 $AM / / PE$ ，过点 $E$ 作 $EM / / PA ， AM$ 和 $EM$ 相交于点 $M$ ，在图中先补充图形，再判断四边形 $PAME$ 的形状，并证明你的结论.

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某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价 $m$ 元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价 $n$ 元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？

（2）设每月用水量为 $x$ 吨，应交水费为 $y$ 元，请写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？

题型：未知
难度：未知

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如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $ΔABO$ 的边 $AB$ 垂直与 $x$ 轴，垂足为点 $B$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过 $AO$ 的中点 $C$ ，且与 $AB$ 相交于点 $D$ ， $OB = 4$ ， $AD = 3$ ，

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式；

（2）求 $\cos ∠ OAB$ 的值；

（3）求经过 $C$ 、 $D$ 两点的一次函数解析式．

题型：未知
难度：未知

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中秋佳节我国有赏月和吃月饼的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况，随机抽取了60名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图．

（注 $:$ 参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）

请根据统计图完成下列问题：

（1）扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为　　度；

条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生有　　人；

（2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有　　人．

（3）甲同学最爱吃云腿月饼，乙同学最爱吃豆沙月饼，现有重量、包装完全一样的云腿、豆沙、莲蓉、蛋黄四种月饼各一个，让甲、乙每人各选一个，请用画树状图法或列表法，求出甲、乙两人中有且只有一人选中自己最爱吃的月饼的概率．

题型：未知
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如图，在平面直角坐标系中，直角 $ΔABC$ 的三个顶点分别是 $A (- 3, 1)$ ， $B (0, 3)$ ， $C (0, 1)$

（1）将 $ΔABC$ 以点 $C$ 为旋转中心旋转 $180 °$ ，画出旋转后对应的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）分别连接 $A B_{1}$ 、 $B A_{1}$ 后，求四边形 $A B_{1} A_{1} B$ 的面积．

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已知抛物线 $C : y = x^{2} - 3 x + m$ ，直线 $l : y = kx (k > 0)$ ，当 $k = 1$ 时，抛物线 $C$ 与直线 $l$ 只有一个公共点．

（1）求 $m$ 的值；

（2）若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，直线 $l$ 与直线 $l_{1} : y = - 3 x + b$ 交于点 $P$ ，且 $\frac{1}{OA} + \frac{1}{OB} = \frac{2}{OP}$ ，求 $b$ 的值；

（3）在（2）的条件下，设直线 $l_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，问：是否在实数 $k$ 使 $S_{ΔAPQ} = S_{ΔBPQ}$ ？若存在，求 $k$ 的值，若不存在，说明理由．

题型：未知
难度：未知

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