已知抛物线 y = - 2 x 2 + bx + c 经过点 0 , - 2 ,当 x < - 4 时, y 随 x 的增大而增大,当 x > - 4 时, y 随 x 的增大而减小.设 r 是抛物线 y = - 2 x 2 + bx + c 与 x 轴的交点(交点也称公共点)的横坐标, m = r 9 + r 7 - 2 r 5 + r 3 + r - 1 r 9 + 60 r 5 - 1 .
(1)求 b , c 的值;
(2)求证: r 4 - 2 r 2 + 1 = 60 r 2 ;
(3)以下结论: m < 1 , m = 1 , m > 1 ,你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.
计算:
平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为(0,3)、(-1,0),将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°,得到平行四边形。(1)若抛物线过点C,A,,求此抛物线的解析式;(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长;(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,间:点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。
如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0)两点.(1)求出抛物线的解析式;(2)若P是抛物线上x轴上方的一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2,点E,F同时从点P出发,分别沿PA,PB以每秒1个单位长度的速度向点A,B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E,F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E,F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是 ,当t=3时,正方形EFGH的边长是 ;(2)当0<t≤2时,求S与t的函数关系式;(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?
如图13-1,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形,显然图中有AG=CE, AG⊥CE.(1)当正方形GFED绕D旋转到如图13-2的位置时,AG=CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(2)当正方形GFED绕D旋转到如图13-3的位置,点F在边AD上,延长CE交AG于H,交AD于M.①求证:AG⊥CH;②当AD=4,DG=时,求CM的长.