初中数学三角形解答题

如图， $\mathit{AE}//\mathit{BF}$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAE}$，且交 $\mathit{BF}$于点 $C$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABF}$，且交 $\mathit{AE}$于点 $D$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，连接 $\mathit{CD}$

（1）求 $\angle \mathit{AOD}$的度数；

（2）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $E$是 $\mathit{CD}$中点，连接 $\mathit{OE}$．过点 $C$作 $\mathit{CF}//\mathit{BD}$交 $\mathit{OE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$．

求证：（1） $\mathit{\Delta ODE}\cong \mathit{\Delta FCE}$；

（2）四边形 $\mathit{OCFD}$是矩形．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$． $E$， $F$是 $\mathit{AC}$上的两点，并且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DOE}\cong \mathit{\Delta BOF}$；

（2）若 $\mathit{BD}=\mathit{EF}$，连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{DF}$，判断四边形 $\mathit{EBFD}$的形状，并说明理由．

如图，已知点 $A$ ， $D$ ， $C$ ， $B$ 在同一条直线上， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$ ， $\mathit{AE}=\mathit{BF}$ ， $\mathit{AE}//\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEC}\cong \mathit{\Delta BFD}$ ．

（2）判断四边形 $\mathit{DECF}$ 的形状，并证明．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $G$是对角线 $\mathit{BD}$的中点．连接 $\mathit{GC}$并延长至 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{GC}$，以 $\mathit{DC}$， $\mathit{CF}$为邻边作菱形 $\mathit{DCFE}$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）判断四边形 $\mathit{CEDG}$的形状，并证明你的结论．

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，求 $\mathit{DF}$的长．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

数学课上，张老师举了下面的例题：

例1 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=110°$，求 $\angle B$的度数．（答案： $35°)$

例2 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=40°$，求 $\angle B$的度数，（答案： $40°$或 $70°$或 $100°)$

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=80°$，求 $\angle B$的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解（1）后，小敏发现， $\angle A$的度数不同，得到 $\angle B$的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，设 $\angle A=x°$，当 $\angle B$有三个不同的度数时，请你探索 $x$的取值范围．

问题背景：如图1，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，则 $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $\angle \mathit{BAD}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}=60°$，于是 $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}=\frac{2\mathit{BD}}{\mathit{AB}}=\sqrt{3}$；

迁移应用：如图2， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$都是等腰三角形， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=120°$， $D$， $E$， $C$三点在同一条直线上，连接 $\mathit{BD}$．

①求证： $\mathit{\Delta ADB}\cong \mathit{\Delta AEC}$；

②请直接写出线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=120°$，在 $\angle \mathit{ABC}$内作射线 $\mathit{BM}$，作点 $C$关于 $\mathit{BM}$的对称点 $E$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{BM}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$．

①证明 $\mathit{\Delta CEF}$是等边三角形；

②若 $\mathit{AE}=5$， $\mathit{CE}=2$，求 $\mathit{BF}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$是对角线， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足分别为点 $E$， $F$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{BC}$上取一点 $O$，以 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径画 $\odot O$， $\odot O$与边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AC}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{OA}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$，并延长交线段 $\mathit{AB}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\tan B=\frac{4}{3}$，求 $\odot O$的半径；

（3）若 $F$是 $\mathit{AB}$的中点，试探究 $\mathit{BD}+\mathit{CE}$与 $\mathit{AF}$的数量关系并说明理由．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，过点 $A$ 作 $\odot O$ 的切线 $\mathit{AC}$ ，点 $P$ 是射线 $\mathit{AC}$ 上的动点，连接 $\mathit{OP}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}//\mathit{OP}$ ，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{PD}$ ．

（1）求证： $\mathit{PD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）当四边形 $\mathit{POBD}$ 是平行四边形时，求 $\angle \mathit{APO}$ 的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $D$是 $\mathit{AB}$边上一点（点 $D$与 $A$， $B$不重合），连接 $\mathit{CD}$，将线段 $\mathit{CD}$绕点 $C$按逆时针方向旋转 $90°$得到线段 $\mathit{CE}$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ACD}\cong \mathit{\Delta BCE}$；

（2）当 $\mathit{AD}=\mathit{BF}$时，求 $\angle \mathit{BEF}$的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{ACB}=2\angle \mathit{ADE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=3$ ， $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ，求 $\widehat{\mathit{CD}}$ 的长．

已知： 在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$，垂足分别为点 $E$， $F$，且 $\mathit{DE}=\mathit{DF}$． 求证： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形 ．