如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线A

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线 $AC$ ，点 $P$ 是射线 $AC$ 上的动点，连接 $OP$ ，过点 $B$ 作 $BD / / OP$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $PD$ ．

（1）求证： $PD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）当四边形 $POBD$ 是平行四边形时，求 $∠ APO$ 的度数．

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计算： $| - 2 | + {(\frac{1}{3})}^{0} - \sqrt{9} + 2 \sin 30 °$ ．

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定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1， $∠ E$ 是 $ΔABC$ 中 $∠ A$ 的遥望角，若 $∠ A = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表示 $∠ E$ ．

（2）如图2，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $\hat{AD} = \hat{BD}$ ，四边形 $ABCD$ 的外角平分线 $DF$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连结 $BF$ 并延长交 $CD$ 的延长线于点 $E$ ．求证： $∠ BEC$ 是 $ΔABC$ 中 $∠ BAC$ 的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $AE$ ， $AF$ ，若 $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径．

①求 $∠ AED$ 的度数；

②若 $AB = 8$ ， $CD = 5$ ，求 $ΔDEF$ 的面积．

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【基础巩固】

（1）如图1，在 $ΔABC$ 中， $D$ 为 $AB$ 上一点， $∠ ACD = ∠ B$ ．求证： $A C^{2} = AD \cdot AB$ ．

【尝试应用】

（2）如图2，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 为 $BC$ 上一点， $F$ 为 $CD$ 延长线上一点， $∠ BFE = ∠ A$ ．若 $BF = 4$ ， $BE = 3$ ，求 $AD$ 的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在菱形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AB$ 上一点， $F$ 是 $ΔABC$ 内一点， $EF / / AC$ ， $AC = 2 EF$ ， $∠ EDF = \frac{1}{2} ∠ BAD$ ， $AE = 2$ ， $DF = 5$ ，求菱形 $ABCD$ 的边长．

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（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式．

（2）因实际需要，要求货车乙到达 $B$ 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 $B$ 地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回 $B$ 地的速度至少为每小时多少千米？

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某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分 $x$ 均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格 $(60 ⩽ x < 70)$ ，合格 $(70 ⩽ x < 80)$ ，良好 $(80 ⩽ x < 90)$ ，优秀 $(90 ⩽ x ⩽ 100)$ ，制作了如图统计图（部分信息未给出）．

由图中给出的信息答案下列问题：

（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．

（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．

（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？

（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？

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