已知: 在 ΔABC 中, AB = AC , D 为 AC 的中点, DE ⊥ AB , DF ⊥ BC ,垂足分别为点 E , F ,且 DE = DF . 求证: ΔABC 是等边三角形 .
如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴相交于点C,点P为线段OB上的动点(不与O、B重合),过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F,点D在y轴正半轴上,OD=2,连接DE、OF.(1)求抛物线的解析式;(2)当四边形ODEF是平行四边形时,求点P的坐标;(3)过点A的直线将(2)中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分,求这条直线的解析式.(不必说明平分平行四边形面积的理由)
(2014年山东淄博9分)如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点. (1)使∠APB=30°的点P有 个; (2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标; (3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值?若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB最大的理由;若没有,也请说明理由.
(年内蒙古包头、乌兰察布12分)如图,已知∠MON=90°,A是∠MON内部的一点,过点A作AB⊥ON,垂足为点B,AB=3厘米,OB=4厘米,动点E,F同时从O点出发,点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动,点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C,连接AE,当点E到达点B时,点F随之停止运动.设运动时间为t秒(t>0).(1)当t=1秒时,△EOF与△ABO是否相似?请说明理由;(2)在运动过程中,不论t取何值时,总有EF⊥OA.为什么?(3)连接AF,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得S△AEF=S四边形ABOF?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(2014年江苏镇江9分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M为抛物线的顶点,过点(0,4)作x轴的平行线,交抛物线于点P、Q(点P在Q的左侧),PQ=4. (1)求抛物线的函数关系式,并写出点P的坐标; (2)小丽发现:将抛物线绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O,你认为正确吗?请说明理由; (3)如图2,已知点A(1,0),以PA为边作矩形PABC(点P、A、B、C按顺时针的方向排列),. ①写出C点的坐标:C( , )(坐标用含有t的代数式表示); ②若点C在题(2)中旋转后的新抛物线上,求t的值.
(年湖南长沙10分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和()两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2).(1)求a,b,c的值;(2)求证:在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;(3)设⊙P与x轴相交于M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.