初中数学三角形解答题

在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$，点 $P$是射线 $\mathit{BD}$上一动点，以 $\mathit{AP}$为边向右侧作等边 $\mathit{\Delta APE}$，点 $E$的位置随着点 $P$的位置变化而变化．

（1）如图1，当点 $E$在菱形 $\mathit{ABCD}$内部或边上时，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{CE}$的数量关系是　　， $\mathit{CE}$与 $\mathit{AD}$的位置关系是　　；

（2）当点 $E$在菱形 $\mathit{ABCD}$外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点 $P$在线段 $\mathit{BD}$的延长线上时，连接 $\mathit{BE}$，若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=2\sqrt{19}$，求四边形 $\mathit{ADPE}$的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $O$为 $\mathit{AC}$上一点，以点 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径做圆，与 $\mathit{BC}$相切于点 $C$，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BO}$交 $\mathit{BO}$的延长线于点 $D$，且 $\angle \mathit{AOD}=\angle \mathit{BAD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=6$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{4}{3}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图， $\mathit{\Delta OAD}$为等腰直角三角形，延长 $\mathit{OA}$至点 $B$使 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{ABCD}$是矩形，其对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OAF}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$的值．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{AD}//\mathit{EC}$， $\angle \mathit{AED}=\angle B$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AED}\cong \mathit{\Delta EBC}$．

（2）当 $\mathit{AB}=6$时，求 $\mathit{CD}$的长．

如图， $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$的中点，延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta FCE}$．

（2）若 $\angle \mathit{BAF}=90°$， $\mathit{BC}=5$， $\mathit{EF}=3$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=20$ ， $\mathit{BC}=\mathit{DC}=10\sqrt{2}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta ADC}$ ；

（2）当 $\angle \mathit{BCA}=45°$ 时，求 $\angle \mathit{BAD}$ 的度数．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CE}$．

（1）如图1，求证： $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{CBD}$；

（2）如图2， $F$是 $\mathit{BD}$的中点，求证： $\mathit{AE}\perp \mathit{CF}$；

（3）如图3， $F$， $G$分别是 $\mathit{BD}$， $\mathit{AE}$的中点，若 $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$， $\mathit{CE}=1$，求 $\mathit{\Delta CGF}$的面积．

小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点 $P$， $Q$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\angle \mathit{PAQ}=\angle B$，求证： $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$．

（1）小敏进行探索，若将点 $P$， $Q$的位置特殊化；把 $\angle \mathit{PAQ}$绕点 $A$旋转得到 $\angle \mathit{EAF}$，使 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$，点 $E$， $F$分别在边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，如图2．此时她证明了 $\mathit{AE}=\mathit{AF}$，请你证明．

（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为 $E$， $F$．请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件： $\mathit{AB}=4$， $\angle B=60°$，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．

数学课上，张老师举了下面的例题：

例1 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=110°$，求 $\angle B$的度数．（答案： $35°)$

例2 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=40°$，求 $\angle B$的度数，（答案： $40°$或 $70°$或 $100°)$

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=80°$，求 $\angle B$的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解（1）后，小敏发现， $\angle A$的度数不同，得到 $\angle B$的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，设 $\angle A=x°$，当 $\angle B$有三个不同的度数时，请你探索 $x$的取值范围．

如图， $\mathit{AM}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线， $D$是线段 $\mathit{AM}$上一点（不与点 $A$重合）． $\mathit{DE}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\mathit{CE}//\mathit{AM}$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）如图1，当点 $D$与 $M$重合时，求证：四边形 $\mathit{ABDE}$是平行四边形；

（2）如图2，当点 $D$不与 $M$重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）如图3，延长 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$，若 $\mathit{BH}\perp \mathit{AC}$，且 $\mathit{BH}=\mathit{AM}$．

①求 $\angle \mathit{CAM}$的度数；

②当 $\mathit{FH}=\sqrt{3}$， $\mathit{DM}=4$时，求 $\mathit{DH}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$是对角线， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足分别为点 $E$， $F$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$的图象交于点 $A(-1,2)$， $B(m,-1)$．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）在 $x$轴上是否存在点 $P(n$， $0\left)\right(n>0)$，使 $\mathit{\Delta ABP}$为等腰三角形？若存在，求 $n$的值；若不存在，说明理由．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，过点 $A$ 作 $\odot O$ 的切线 $\mathit{AC}$ ，点 $P$ 是射线 $\mathit{AC}$ 上的动点，连接 $\mathit{OP}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}//\mathit{OP}$ ，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{PD}$ ．

（1）求证： $\mathit{PD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）当四边形 $\mathit{POBD}$ 是平行四边形时，求 $\angle \mathit{APO}$ 的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $D$是 $\mathit{AB}$边上一点（点 $D$与 $A$， $B$不重合），连接 $\mathit{CD}$，将线段 $\mathit{CD}$绕点 $C$按逆时针方向旋转 $90°$得到线段 $\mathit{CE}$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ACD}\cong \mathit{\Delta BCE}$；

（2）当 $\mathit{AD}=\mathit{BF}$时，求 $\angle \mathit{BEF}$的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{ACB}=2\angle \mathit{ADE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=3$ ， $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ，求 $\widehat{\mathit{CD}}$ 的长．