初中数学三角形解答题

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$，已知 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，过点 $O$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{DEBF}$是菱形：

（2）设 $\mathit{AD}//\mathit{EF}$， $\mathit{AD}+\mathit{AB}=12$， $\mathit{BD}=4\sqrt{3}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．

（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　 　，位置关系是　　；

（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．

已知抛物线 $c_1$的顶点为 $A(-1,4)$，与 $y$轴的交点为 $D(0,3)$．

（1）求 $c_1$的解析式；

（2）若直线 $l_1:y=x+m$与 $c_1$仅有唯一的交点，求 $m$的值；

（3）若抛物线 $c_1$关于 $y$轴对称的抛物线记作 $c_2$，平行于 $x$轴的直线记作 $l_2:y=n$．试结合图形回答：当 $n$为何值时， $l_2$与 $c_1$和 $c_2$共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；

（4）若 $c_2$与 $x$轴正半轴交点记作 $B$，试在 $x$轴上求点 $P$，使 $\mathit{\Delta PAB}$为等腰三角形．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{BO}$的延长线交边 $\mathit{AC}$于点 $D$．

[小题1]求证： $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{ABD}$；

[小题2]当 $\mathit{\Delta BCD}$是等腰三角形时，求 $\angle \mathit{BCD}$的大小；

[小题3]当 $\mathit{AD}=2$， $\mathit{CD}=3$时，求边 $\mathit{BC}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上一动点，连接 $\mathit{AD}$，把 $\mathit{AD}$绕点 $A$逆时针旋转 $90°$，得到 $\mathit{AE}$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{DE}$．点 $F$是 $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{AD}$；

（2）如图2所示，在点 $D$运动的过程中，当 $\mathit{BD}=2\mathit{CD}$时，分别延长 $\mathit{CF}$， $\mathit{BA}$，相交于点 $G$，猜想 $\mathit{AG}$与 $\mathit{BC}$存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点 $D$运动的过程中，在线段 $\mathit{AD}$上存在一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值最小．当 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值取得最小值时， $\mathit{AP}$的长为 $m$，请直接用含 $m$的式子表示 $\mathit{CE}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $C$出发以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{CA}$匀速运动，同时动点 $Q$从点 $A$出发以 $\sqrt{2}\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{AB}$匀速运动，当点 $P$到达点 $A$时，点 $P$、 $Q$同时停止运动，设运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）当 $t$为何值时，点 $B$在线段 $\mathit{PQ}$的垂直平分线上？

（2）是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{\Delta APQ}$是以 $\mathit{PQ}$为腰的等腰三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（3）以 $\mathit{PC}$为边，往 $\mathit{CB}$方向作正方形 $\mathit{CPMN}$，设四边形 $\mathit{QNCP}$的面积为 $S$，求 $S$关于 $t$的函数关系式．

已知点 $O$是正方形 $\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{BD}$的中点．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{OD}$的中点，点 $F$是 $\mathit{AB}$上一点，且使得 $\angle \mathit{CEF}=90°$，过点 $E$作 $\mathit{ME}//\mathit{AD}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\mathit{CD}$于点 $N$．求证：

① $\angle \mathit{AEM}=\angle \mathit{FEM}$； ②点 $F$是 $\mathit{AB}$的中点；

（2）如图2，若点 $E$是 $\mathit{OD}$上一点，点 $F$是 $\mathit{AB}$上一点，且使 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DO}}=\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{3}$，请判断 $\mathit{\Delta EFC}$的形状，并说明理由；

（3）如图3，若 $E$是 $\mathit{OD}$上的动点（不与 $O$， $D$重合），连接 $\mathit{CE}$，过 $E$点作 $\mathit{EF}\perp \mathit{CE}$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，当 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DB}}=\frac{m}{n}$时，请猜想 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}$的值（请直接写出结论）．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\mathit{AD}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AC}$， $E$是 $\mathit{AB}$的中点， $F$是 $\mathit{AC}$延长线上一点．

（1）若 $\mathit{ED}\perp \mathit{EF}$，求证： $\mathit{ED}=\mathit{EF}$；

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{DC}$的延长线与 $\mathit{FB}$交于点 $P$，试判定四边形 $\mathit{ACPE}$是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；

（3）若 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$， $\mathit{ED}$与 $\mathit{EF}$垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接，．设点的纵坐标为，的面积为．

（1）当时，请直接写出点的坐标；

（2）关于的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值；

（3）在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在轴上，在轴上．为坐标原点，，线段，的长分别是方程的两个根，．

（1）求点，的坐标；

（2）为上一点，为上一点，，将翻折，使点落在上的点处，双曲线的一个分支过点．求的值；

（3）在（2）的条件下，为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $O$为坐标原点，点 $B$的坐标为 $(4,3)$，点 $A$、 $C$在坐标轴上，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，直线 $l_1:y=2x+3$，直线 $l_2:y=2x-3$．

（1）分别求直线 $l_1$与 $x$轴，直线 $l_2$与 $\mathit{AB}$的交点坐标；

（2）已知点 $M$在第一象限，且是直线 $l_2$上的点，若 $\mathit{\Delta APM}$是等腰直角三角形，求点 $M$的坐标；

（3）我们把直线 $l_1$和直线 $l_2$上的点所组成的图形为图形 $F$．已知矩形 $\mathit{ANPQ}$的顶点 $N$在图形 $F$上， $Q$是坐标平面内的点，且 $N$点的横坐标为 $x$，请直接写出 $x$的取值范围（不用说明理由）．

已知， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=\angle C$， $P$是 $\mathit{BC}$边上一点，作 $\angle \mathit{CPE}=\angle \mathit{BPF}$，分别交边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$于点 $E$， $F$．

（1）若 $\angle \mathit{CPE}=\angle C$（如图 $1)$，求证： $\mathit{PE}+\mathit{PF}=\mathit{AB}$．

（2）若 $\angle \mathit{CPE}\ne \angle C$，过点 $B$作 $\angle \mathit{CBD}=\angle \mathit{CPE}$，交 $\mathit{CA}$（或 $\mathit{CA}$的延长线）于点 $D$．试猜想：线段 $\mathit{PE}$， $\mathit{PF}$和 $\mathit{BD}$之间的数量关系，并就 $\angle \mathit{CPE}>\angle C$情形（如图 $2)$说明理由．

（3）若点 $F$与 $A$重合（如图 $3)$， $\angle C=27°$，且 $\mathit{PA}=\mathit{AE}$．

①求 $\angle \mathit{CPE}$的度数；

②设 $\mathit{PB}=a$， $\mathit{PA}=b$， $\mathit{AB}=c$，试证明： $b=\frac{a^2-c^2}{c}$．

如图（1）放置两个全等的含有 $30°$角的直角三角板 $\mathit{ABC}$与 $\mathit{DEF}(\angle B=\angle E=30°)$，若将三角板 $\mathit{ABC}$向右以每秒1个单位长度的速度移动（点 $C$与点 $E$重合时移动终止），移动过程中始终保持点 $B$、 $F$、 $C$、 $E$在同一条直线上，如图（2）， $\mathit{AB}$与 $\mathit{DF}$、 $\mathit{DE}$分别交于点 $P$、 $M$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{DE}$交于点 $Q$，其中 $\mathit{AC}=\mathit{DF}=\sqrt{3}$，设三角板 $\mathit{ABC}$移动时间为 $x$秒．

（1）在移动过程中，试用含 $x$的代数式表示 $\mathit{\Delta AMQ}$的面积；

（2）计算 $x$等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{FD}$， $\mathit{AF}$的延长线交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$， $\mathit{AE}$的延长线交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $G$．

[小题1]求证： $\mathit{\Delta AFD}\backsim \mathit{\Delta GAD}$；

[小题2]如果 $D{F}^2=\mathit{CF}·\mathit{CD}$，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CH}$．

将正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$绕点 $A$逆时针旋转至 $\mathit{AB}\text{'}$，记旋转角为 $\alpha$，连接 $\mathit{BB}\text{'}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}$垂直于直线 $\mathit{BB}\text{'}$，垂足为点 $E$，连接 $\mathit{DB}\text{'}$， $\mathit{CE}$．

（1）如图1，当 $\alpha =60°$时， $\mathit{\Delta DEB}\text{'}$的形状为　 　，连接 $\mathit{BD}$，可求出 $\frac{\mathit{BB}\text{'}}{\mathit{CE}}$的值为　　；

（2）当 $0°<\alpha <360°$且 $\alpha \ne 90°$时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点 $B\text{'}$， $E$， $C$， $D$为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 $\frac{\mathit{BE}}{B\text{'}E}$的值．