如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，已知 $OA = OC$ ， $OB = OD$ ，过点 $O$ 作 $EF ⊥ BD$ ，分别交 $AB$ 、 $DC$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $DE$ ， $BF$ ．

（1）求证：四边形 $DEBF$ 是菱形：

（2）设 $AD / / EF$ ， $AD + AB = 12$ ， $BD = 4 \sqrt{3}$ ，求 $AF$ 的长．

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 为抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a > 0)$ 上任意两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ．

（1）若抛物线的对称轴为 $x = 1$ ，当 $x_{1}, x_{2}$ 为何值时， $y_{1} = y_{2} = c;$

（2）设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．若对于 $x_{1} + x_{2} > 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $t$ 的取值范围．

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$a$ ．小云所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量统计图：

$b$ ．小云所住小区 5 月 1 日至 30 日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

（ 1 ）该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数）

（ 2 ）已知该小区 4 月的厨余垃圾分出量的平均数为 $60$ ，则该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 4 月的倍（结果保留小数点后一位）；

（ 3 ）记该小区 5 月 1 日至 10 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{1}^{2},$ 5 月 11 日至 20 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{2}^{2}$ ， 5 月 21 日至 30 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{3}^{2}$ ．直接写出 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}, s_{3}^{2}$ 的大小关系．

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小云在学习过程中遇到一个函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)$ ．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（ 1 ）当 $- 2 \leq x < 0$ 时，对于函数 $y_{1} = | x |$ ，即 $y_{1} = - x$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而，且 $y_{1} > 0$ ；对于函数 $y_{2} = x^{2} - x + 1$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y_{2}$ 随 $x$ 的增大而，且 $y_{2} > 0$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而．

（ 2 ）当 $x \geq 0$ 时，对于函数 $y$ ，当 $x \geq 0$ 时， $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

综合上表，进一步探究发现，当 $x \geq 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．在平面直角坐标系 $xOy$ 中，画出当 $x \geq 0$ 时的函数 $y$ 的图象．

（ 3 ）过点 $(0 ， m)$ （ $m > 0$ ）作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合（ 1 ）（ 2 ）的分析，解决问题：若直线 $l$ 与函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)$ 的图象有两个交点，则 $m$ 的最大值是．

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如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $BA$ 延长线上一点， $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线， $D$ 为切点， $OF ⊥ AD$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ．

（ 1 ）求证： $∠ ADC = ∠ AOF$ ；

（ 2 ）若 $\sin C = \frac{1}{3}$ ， $BD = 8$ ，求 $EF$ 的长．

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象由函数 $y = x$ 的图象平移得到，且经过点 $(1 ， 2)$ ．

（ 1 ）求这个一次函数的解析式；

（ 2 ）当 $x > 1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = mx (m \neq 0)$ 的值大于一次函数 $y = kx + b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

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