初中数学二次函数的性质解答题

已知抛物线 $y=-x^2+2x+8$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求点 $B$、 $C$的坐标；

（2）设点 $C\text{'}$与点 $C$关于该抛物线的对称轴对称．在 $y$轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PCC}\text{'}$与 $\mathit{\Delta POB}$相似，且 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PO}$是对应边？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=m{x}^2+(m^2+3)x-(6m+9)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $B(3,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和直线 $\mathit{BC}$ 对应的函数表达式；

（2） $P$ 为抛物线上一点，若 $S_{\mathit{\Delta PBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，请直接写出点 $P$ 的坐标；

（3） $Q$ 为抛物线上一点，若 $\angle \mathit{ACQ}=45°$ ，求点 $Q$ 的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标是 $(0,-2)$ ，在 $x$ 轴上任取一点 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ，分别以点 $A$ 和点 $M$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AM}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $G$ ， $H$ 两点，作直线 $\mathit{GH}$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 交直线 $\mathit{GH}$ 于点 $P$ ．根据以上操作，完成下列问题．

探究：

（1）线段 $\mathit{PA}$ 与 $\mathit{PM}$ 的数量关系为 　 　，其理由为： 　　．

（2）在 $x$ 轴上多次改变点 $M$ 的位置，按上述作图方法得到相应点 $P$ 的坐标，并完成下列表格：

$M$ 的坐标	$\dots$	$(-2,0)$	$(0,0)$	$(2,0)$	$(4,0)$	$\dots$
$P$ 的坐标	$\dots$		$(0,-1)$	$(2,-2)$		$\dots$

猜想：

（3）请根据上述表格中 $P$ 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线 $L$ ，猜想曲线 $L$ 的形状是 　　．

验证：

（4）设点 $P$ 的坐标是 $(x,y)$ ，根据图1中线段 $\mathit{PA}$ 与 $\mathit{PM}$ 的关系，求出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

应用：

（5）如图3，点 $B(-1,\sqrt{3})$ ， $C(1,\sqrt{3})$ ，点 $D$ 为曲线 $L$ 上任意一点，且 $\angle \mathit{BDC}<30°$ ，求点 $D$ 的纵坐标 $y_D$ 的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a$， $b$为常数， $a\ne 0)$经过两点 $A(2,4)$， $B(4,4)$，交 $x$轴正半轴于点 $C$．

（1）求抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的解析式．

（2）过点 $B$作 $\mathit{BD}$垂直于 $x$轴，垂足为点 $D$，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$，将 $\mathit{\Delta ABD}$以 $\mathit{AD}$为轴翻折，点 $B$的对应点为 $E$，直线 $\mathit{DE}$交 $y$轴于点 $P$，请判断点 $E$是否在抛物线上，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$是线段 $\mathit{OC}$（不包含端点）上一动点，过点 $Q$垂直于 $x$轴的直线分别交直线 $\mathit{DP}$及抛物线于点 $M$， $N$，连接 $\mathit{PN}$，请探究：是否存在点 $Q$，使 $\mathit{\Delta PMN}$是以 $\mathit{PM}$为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B(3,0)$， $C(0,-2)$，直线 $l:y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$交 $y$轴于点 $E$，且与抛物线交于 $A$， $D$两点， $P$为抛物线上一动点（不与 $A$， $D$重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$在直线 $l$下方时，过点 $P$作 $\mathit{PM}//x$轴交 $l$于点 $M$， $\mathit{PN}//y$轴交 $l$于点 $N$，求 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$的最大值．

（3）设 $F$为直线 $l$上的点，以 $E$， $C$， $P$， $F$为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 $F$的坐标；若不能，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3a(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A$， $B$．与 $y$轴交于点 $C$．连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．已知 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于 $x$轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $P$， $Q$两点．过 $P$， $Q$向 $x$轴作垂线，垂足分别为 $G$， $H$．若四边形 $\mathit{PGHQ}$为正方形，求正方形的边长；

（3）如图2，平行于 $y$轴的直线交抛物线于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$ $(2,0)$．点 $D$是抛物线上 $A$， $M$之间的一动点，且点 $D$不与 $A$， $M$重合，连接 $\mathit{DB}$交 $\mathit{MN}$于点 $E$．连接 $\mathit{AD}$并延长交 $\mathit{MN}$于点 $F$．在点 $D$运动过程中， $3\mathit{NE}+\mathit{NF}$是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

如图，抛物线的顶点为 $A(h,-1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,-\frac{1}{2})$ ，点 $F(2,1)$ 为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线 $l$ 是过点 $C(0,-3)$ 且垂直于 $y$ 轴的定直线，若抛物线上的任意一点 $P(m,n)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求证： $\mathit{PF}=d$ ；

（3）已知坐标平面内的点 $D(4,3)$ ，请在抛物线上找一点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta DFQ}$ 的周长最小，并求此时 $\mathit{\Delta DFQ}$ 周长的最小值及点 $Q$ 的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-2)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $D$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，记 $\mathit{\Delta BDE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，过点 $O$ 作直线 $l//\mathit{BC}$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为直线 $l$ 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 $P$ ， $Q$ ，使 $\mathit{\Delta PQB}\backsim \mathit{\Delta CAB}$ ．若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C_1:y=a{x}^2+\mathit{bx}-1$经过点 $A(-2,1)$和点 $B(-1,-1)$，抛物线 $C_2:y=2x^2+x+1$，动直线 $x=t$与抛物线 $C_1$交于点 $N$，与抛物线 $C_2$交于点 $M$．

（1）求抛物线 $C_1$的表达式；

（2）直接用含 $t$的代数式表示线段 $\mathit{MN}$的长；

（3）当 $\mathit{\Delta AMN}$是以 $\mathit{MN}$为直角边的等腰直角三角形时，求 $t$的值；

（4）在（3）的条件下，设抛物线 $C_1$与 $y$轴交于点 $P$，点 $M$在 $y$轴右侧的抛物线 $C_2$上，连接 $\mathit{AM}$交 $y$轴于点 $K$，连接 $\mathit{KN}$，在平面内有一点 $Q$，连接 $\mathit{KQ}$和 $\mathit{QN}$，当 $\mathit{KQ}=1$且 $\angle \mathit{KNQ}=\angle \mathit{BNP}$时，请直接写出点 $Q$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-3,0)$， $B(-2,3)$， $C(0,3)$，其顶点为 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $M(1,m)$，当 $\mathit{MB}+\mathit{MD}$的值最小时，求 $m$的值；

（3）若 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta APC}$的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $N$， $E$为直线 $\mathit{AC}$上任意一点，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{ND}$交抛物线于点 $F$，以 $N$， $D$， $E$， $F$为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 $E$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴相交于点 $A(0,3)$，与 $x$正半轴相交于点 $B$，对称轴是直线 $x=1$

（1）求此抛物线的解析式以及点 $B$的坐标．

（2）动点 $M$从点 $O$出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $x$轴正方向运动，同时动点 $N$从点 $O$出发，以每秒3个单位长度的速度沿 $y$轴正方向运动，当 $N$点到达 $A$点时， $M$、 $N$同时停止运动．过动点 $M$作 $x$轴的垂线交线段 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交抛物线于点 $P$，设运动的时间为 $t$秒．

①当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{OMPN}$为矩形．

②当 $t>0$时， $\mathit{\Delta BOQ}$能否为等腰三角形？若能，求出 $t$的值；若不能，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-\frac{3}{2}x-2(a\ne 0)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $B$点坐标为 $(4,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点 $M$是线段 $\mathit{BC}$下方的抛物线上一点，求 $\mathit{\Delta MBC}$的面积的最大值，并求出此时 $M$点的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C_1:y=m{x}^2+n(m\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的负半轴交于点 $C$，其中 $A(-1,0)$， $C(0,-1)$．

（1）求抛物线 $C_1$及直线 $\mathit{AC}$的解析式．

（2）沿直线 $\mathit{AC}$由 $A$至 $C$ 的方向平移抛物线 $C_1$，得到新的抛物线 $C_2$， $C_2$上的点 $D$为 $C_1$上的点 $C$的对应点，若抛物线 $C_2$恰好经过点 $B$，同时与 $x$轴交于另一点 $E$，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{DE}$，试判断 $\mathit{\Delta ODE}$的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若 $P$为线段 $\mathit{OE}$（不含端点）上一动点，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{DE}$于 $F$， $\mathit{PG}\perp \mathit{OD}$于点 $G$，设 $\mathit{PF}=h_1$， $\mathit{PG}=h_2$．试判断 $h_1·h_2$的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点 $P$的坐标；如不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=x-3$与坐标轴交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B$，与直线 $y=x-3$交于点 $E(8,5)$，且与 $x$轴交于 $C$， $D$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一点 $M$，当 $\angle \mathit{MBE}=75°$时，求点 $M$的横坐标；

（3）点 $P$在抛物线上，在坐标平面内是否存在点 $Q$，使得以点 $P$， $Q$， $B$， $C$为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $A(-2,0)$， $B(4,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-1$过 $A$、 $B$两点，并与过 $A$点的直线 $y=-\frac{1}{2}x-1$交于点 $C$．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 $P$，使四边形 $\mathit{ACPO}$的周长最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点 $M$为 $y$轴右侧抛物线上一点，过点 $M$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $N$．问：是否存在这样的点 $N$，使以点 $M$、 $N$、 $C$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，若存在，求出点 $N$的坐标，若不存在，请说明理由．