初中数学二次函数的性质解答题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$和点 $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，与抛物线的对称轴交于点 $E$，顶点为点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 $Q$在射线 $\mathit{ED}$上，若以点 $P$、 $Q$、 $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$相似，请直接写出点 $P$的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $(1,m)$和点 $(3,n)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$上．

（1）若 $m=3$， $n=15$，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点 $(-1,y_1)$， $(2,y_2)$， $(4,y_3)$在该抛物线上．若 $\mathit{mn}<0$，比较 $y_1$， $y_2$， $y_3$的大小，并说明理由．

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（－1，0）和B（3，0）两点，交y轴于E．

（1）求此抛物线的表达式．
（2）若直线y=x＋1与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-3\mathit{ax}-4a$ 的图象经过点 $C(0,2)$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧），连接 $\mathit{BC}$ ，直线 $y=\mathit{kx}+1(k>0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线交于点 $E$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

（2） $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{DF}}$ 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=(x-1)(x-a)(a$ 为常数）的图象的对称轴为直线 $x=2$ ．

（1）求 $a$ 的值．

（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

如图1，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$， $C$分别是直线 $y=-\frac{8}{3}x+4$与坐标轴的交点，点 $B$的坐标为 $(-2,0)$，点 $D$是边 $\mathit{AC}$上的一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$，点 $F$在边 $\mathit{AB}$上，且 $D$， $F$两点关于 $y$轴上的某点成中心对称，连结 $\mathit{DF}$， $\mathit{EF}$．设点 $D$的横坐标为 $m$， $E{F}^2$为 $l$，请探究：

①线段 $\mathit{EF}$长度是否有最小值．

② $\mathit{\Delta BEF}$能否成为直角三角形．

小明尝试用“观察 $-$猜想 $-$验证 $-$应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．

（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 $l$随 $m$变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 $2)$．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想 $l$与 $m$可能满足的函数类别．

（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 $l$关于 $m$的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 $\mathit{EF}$长度的最小值．

（3）小明通过观察，推理，发现 $\mathit{\Delta BEF}$能成为直角三角形，请你求出当 $\mathit{\Delta BEF}$为直角三角形时 $m$的值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+4x-3$图象的顶点是 $A$，与 $x$轴交于 $B$， $C$两点，与 $y$轴交于点 $D$．点 $B$的坐标是 $(1,0)$．

（1）求 $A$， $C$两点的坐标，并根据图象直接写出当 $y>0$时 $x$的取值范围．

（2）平移该二次函数的图象，使点 $D$恰好落在点 $A$的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3+2a^2(a\ne 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P(m,y_1)$ ， $Q(3,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1<y_2$ ，求 $m$ 的取值范围．

我们把方程 ${(x-m)}^2+{(y-n)}^2=r^2$ 称为圆心为 $(m,n)$ 、半径长为 $r$ 的圆的标准方程．例如，圆心为 $(1,-2)$ 、半径长为3的圆的标准方程是 ${(x-1)}^2+{(y+2)}^2=9$ ．在平面直角坐标系中， $\odot C$ 与轴交于点 $A$ ， $B$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(8,0)$ ，与 $y$ 轴相切于点 $D(0,4)$ ，过点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的抛物线的顶点为 $E$ ．

（1）求 $\odot C$ 的标准方程；

（2）试判断直线 $\mathit{AE}$ 与 $\odot C$ 的位置关系，并说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$与 $y$轴交于点 $C$，与x轴交于 $A，B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），且 $A$点坐标为 $(-\sqrt{2},0)$，直线 $\mathit{BC}$的解析式为 $y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x+2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$，交抛物线于点D，点E为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）将抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$向左平移 $\sqrt{2}$个单位，已知点 $M$为抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $\mathit{BECD}$的面积最大时，是否存在以 $A，E，M，N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知经过原点的抛物线 $y=2x^2+\mathit{mx}$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A(2,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和抛物线顶点 $M$ 的坐标；

（2）求直线 $\mathit{AM}$ 的解析式．

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+a$， $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+1(a$， $b$是实数， $a\ne 0)$．

（1）若函数 $y_1$的对称轴为直线 $x=3$，且函数 $y_1$的图象经过点 $(a,b)$，求函数 $y_1$的表达式．

（2）若函数 $y_1$的图象经过点 $(r,0)$，其中 $r\ne 0$，求证：函数 $y_2$的图象经过点 $(\frac{1}{r}$， $0)$．

（3）设函数 $y_1$和函数 $y_2$的最小值分别为 $m$和 $n$，若 $m+n=0$，求 $m$， $n$的值．

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{(x-m)}^2+4$图象的顶点为 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，异于顶点 $A$的点 $C(1,n)$在该函数图象上．

（1）当 $m=5$时，求 $n$的值．

（2）当 $n=2$时，若点 $A$在第一象限内，结合图象，求当 $y⩾2$时，自变量 $x$的取值范围．

（3）作直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴相交于点 $D$．当点 $B$在 $x$轴上方，且在线段 $\mathit{OD}$上时，求 $m$的取值范围．

已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$的顶点为 $A$．点 $B$的坐标为 $(3,5)$．

（1）求抛物线过点 $B$时顶点 $A$的坐标；

（2）点 $A$的坐标记为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$的函数表达式；

（3）已知 $C$点的坐标为 $(0,2)$，当 $m$取何值时，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$与线段 $\mathit{BC}$只有一个交点．