已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$的顶点为 $A$．点 $B$的坐标为 $(3,5)$．

（1）求抛物线过点 $B$时顶点 $A$的坐标；

（2）点 $A$的坐标记为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$的函数表达式；

（3）已知 $C$点的坐标为 $(0,2)$，当 $m$取何值时，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$与线段 $\mathit{BC}$只有一个交点．