初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-x^2+6x-5$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $P$，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CP}$，过点 $C$作 $y$轴的垂线 $l$．

（1）求点 $P$， $C$的坐标；

（2）直线 $l$上是否存在点 $Q$，使 $\mathit{\Delta PBQ}$的面积等于 $\mathit{\Delta PAC}$的面积的2倍？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线的对称轴是 $y$轴，且点 $(2,2)$， $(1,\frac{5}{4})$在抛物线上，点 $P$是抛物线上不与顶点 $N$重合的一动点，过 $P$作 $\mathit{PA}\perp x$轴于 $A$， $\mathit{PC}\perp y$轴于 $C$，延长 $\mathit{PC}$交抛物线于 $E$，设 $M$是 $O$关于抛物线顶点 $N$的对称点， $D$是 $C$点关于 $N$的对称点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $N$的坐标；

（2）求证：四边形 $\mathit{PMDA}$是平行四边形；

（3）求证： $\mathit{\Delta DPE}\backsim \mathit{\Delta PAM}$，并求出当它们的相似比为 $\sqrt{3}$时的点 $P$的坐标．

如图，两条抛物线 $y_1=-x^2+4$， $y_2=-\frac{1}{5}{x}^2+\mathit{bx}+c$相交于 $A$， $B$两点，点 $A$在 $x$轴负半轴上，且为抛物线 $y_2$的最高点．

（1）求抛物线 $y_2$的解析式和点 $B$的坐标；

（2）点 $C$是抛物线 $y_1$上 $A$， $B$之间的一点，过点 $C$作 $x$轴的垂线交 $y_2$于点 $D$，当线段 $\mathit{CD}$取最大值时，求 $S_{\mathit{\Delta BCD}}$．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$经过 $A(-1,0)$， $B(1,1)$两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=k_{1}x+b_1(k_1$， $b_1$为常数，且 $k_1\ne 0)$，直线 $l_2:y=k_{2}x+b_2(k_2$， $b_2$为常数，且 $k_2\ne 0)$，若 $l_1\perp l_2$，则 $k_1·k_2=-1$．

解决问题：

①若直线 $y=3x-1$与直线 $y=\mathit{mx}+2$互相垂直，求 $m$的值；

②抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAB}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$是抛物线上一动点，且在直线 $\mathit{AB}$的上方（不与 $A$， $B$重合），求点 $M$到直线 $\mathit{AB}$的距离的最大值．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $\mathit{AB}$相交于 $A$， $B$两点，其中 $A(-3,-4)$， $B(0,-1)$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{AB}$下方抛物线上的任意一点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，求 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0)$，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 $C$，点 $D$为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $E$，使以点 $B$， $C$， $D$， $E$为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$交抛物线的对称轴于点 $E$， $D$是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）直接写出点 $C$和点 $D$的坐标；

（3）若点 $P$在第一象限内的抛物线上，且 $S_{\mathit{\Delta ABP}}=4S_{\mathit{\Delta COE}}$，求 $P$点坐标．

注：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+a$， $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+1(a$， $b$是实数， $a\ne 0)$．

（1）若函数 $y_1$的对称轴为直线 $x=3$，且函数 $y_1$的图象经过点 $(a,b)$，求函数 $y_1$的表达式．

（2）若函数 $y_1$的图象经过点 $(r,0)$，其中 $r\ne 0$，求证：函数 $y_2$的图象经过点 $(\frac{1}{r}$， $0)$．

（3）设函数 $y_1$和函数 $y_2$的最小值分别为 $m$和 $n$，若 $m+n=0$，求 $m$， $n$的值．

某学习小组在研究函数 $y=\frac{1}{6}{x}^3-2x$的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．

$x$	$\dots$	$-4$	$-3.5$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	3.5	4	$\dots$
$y$	$\dots$	$-\frac{8}{3}$	$-\frac{7}{48}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{8}{3}$	$\frac{11}{6}$	0	$-\frac{11}{6}$	$-\frac{8}{3}$	$-\frac{3}{2}$	$\frac{7}{48}$	$\frac{8}{3}$	$\dots$

（1）请补全函数图象；

（2）方程 $\frac{1}{6}{x}^3-2x=-2$实数根的个数为　     　；

（3）观察图象，写出该函数的两条性质．

如图，已知经过原点的抛物线 $y=2x^2+\mathit{mx}$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A(2,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和抛物线顶点 $M$ 的坐标；

（2）求直线 $\mathit{AM}$ 的解析式．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点为 $A(4,3)$，与 $y$轴相交于点 $B(0,-5)$，对称轴为直线 $l$，点 $M$是线段 $\mathit{AB}$的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点 $M$的坐标并求直线 $\mathit{AB}$的表达式；

（3）设动点 $P$， $Q$分别在抛物线和对称轴 $l$上，当以 $A$， $P$， $Q$， $M$为顶点的四边形是平行四边形时，求 $P$， $Q$两点的坐标．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$， $B$两点，交 $y$轴于点 $C$，对称轴是直线 $x=-3$， $B(-1,0)$， $F(0,1)$，请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）直接写出抛物线顶点 $E$的坐标，并判断 $\mathit{AC}$与 $\mathit{EF}$的位置关系，不需要说明理由．

注：抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(3,0)$、点 $B(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求拋物线的解析式；

（2）过点 $D(0,3)$作直线 $\mathit{MN}//x$轴，点 $P$在直线 $\mathit{MN}$上且 $S_{\mathit{\Delta PAC}}=S_{\mathit{\Delta DBC}}$，直接写出点 $P$的坐标．

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_1=(x+a)(x-a-1)$，其中 $a\ne 0$．

（1）若函数 $y_1$的图象经过点 $(1,-2)$，求函数 $y_1$的表达式；

（2）若一次函数 $y_2=\mathit{ax}+b$的图象与 $y_1$的图象经过 $x$轴上同一点，探究实数 $a$， $b$满足的关系式；

（3）已知点 $P(x_0$， $m)$和 $Q(1,n)$在函数 $y_1$的图象上，若 $m<n$，求 $x_0$的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a<0)$过点 $E(10,0)$，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在线段 $\mathit{OE}$上（点 $A$在点 $B$的左边），点 $C$， $D$在抛物线上．设 $A(t,0)$，当 $t=2$时， $\mathit{AD}=4$．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当 $t$为何值时，矩形 $\mathit{ABCD}$的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持 $t=2$时的矩形 $\mathit{ABCD}$不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $G$， $H$，且直线 $\mathit{GH}$平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=x^2-2(k-1)x+k^2-\frac{5}{2}k(k$为常数）．

（1）若抛物线经过点 $(1,k^2)$，求 $k$的值；

（2）若抛物线经过点 $(2k,y_1)$和点 $(2,y_2)$，且 $y_1>y_2$，求 $k$的取值范围；

（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当 $1⩽x⩽2$时，新抛物线对应的函数有最小值 $-\frac{3}{2}$，求 $k$的值．