如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = x 2 + bx + c 与 x 轴交于点 A ( 3 , 0 ) 、点 B ( − 1 , 0 ) ,与 y 轴交于点 C .
(1)求拋物线的解析式;
(2)过点 D ( 0 , 3 ) 作直线 MN / / x 轴,点 P 在直线 MN 上且 S ΔPAC = S ΔDBC ,直接写出点 P 的坐标.
先化简,再求值:,其中.
求值:.
(1)计算:; (2)先化简,再求值:,其中.
(·辽宁沈阳)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),与y轴交于点A,抛物线的顶点为D. (1)填空:点A的坐标为( , ),点B的坐标为( , ),点C的坐标为( , ),点D的坐标为( , ); (2)点P是线段BC上的动点(点P不与点B、C重合) ①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC,求点E的坐标; ②在①的条件下,点F是坐标轴上的点,且点F到EA和ED的距离相等,请直接写出线段EF的长; ③若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合),点R是线段AC上的动点(点R不与点A、C重合),请直接写出△PQR周长的最小值.
(·辽宁沈阳)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B的坐标为(60,0),OA=AB,∠OAB=90°,OC=50.点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O、B重合),过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R,设点P横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=40时,直线l恰好经过点C. (1)求点A和点C的坐标; (2)当0<t<30时,求m关于t的函数关系式; (3)当m=35时,请直接写出t的值; (4)直线l上有一点M,当∠PMB+∠POC=90°,且△PMB的周长为60时,请直接写出满足条件的点M的坐标.