如图,已知抛物线 y = a x 2 + bx + 1 经过 A ( − 1 , 0 ) , B ( 1 , 1 ) 两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)阅读理解:
在同一平面直角坐标系中,直线 l 1 : y = k 1 x + b 1 ( k 1 , b 1 为常数,且 k 1 ≠ 0 ) ,直线 l 2 : y = k 2 x + b 2 ( k 2 , b 2 为常数,且 k 2 ≠ 0 ) ,若 l 1 ⊥ l 2 ,则 k 1 · k 2 = − 1 .
解决问题:
①若直线 y = 3 x − 1 与直线 y = mx + 2 互相垂直,求 m 的值;
②抛物线上是否存在点 P ,使得 ΔPAB 是以 AB 为直角边的直角三角形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3) M 是抛物线上一动点,且在直线 AB 的上方(不与 A , B 重合),求点 M 到直线 AB 的距离的最大值.
定义一种新运算“⊕”:a⊕b=a﹣2b,比如:2⊕(﹣3)=2﹣2×(﹣3)=2+6=8.(1)求(﹣3)⊕2的值;(2)若(x﹣3)⊕(x+1)=1,求x的值.
小刚用一张半径为12cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为5cm,那么这张扇形纸板的面积是cm2.
已知,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转,得到矩形A′B′C′D′,直线DA′,B′C′分别与直线BC相交于点P,Q. (1)①如图1,当矩形A′B′C′D的顶点B′落在射线DC上时 ; ②如图2,当矩形A′B′C′D的顶点B′落在线段BC的延长线上时,DP= ; (2)①如图3,当点P位于线段BC上时,求证:DP=PQ; ②在矩形ABCD旋转过程中(旋转角0°<α≤90°),请直接写出BP=BQ时,CP的长: . (3)在矩形ABCD旋转过程中(旋转角45°<α≤180°),以点D,B′,P,Q为顶点的四边形能否成为平行四边形?如果能,请直接写出此时CP的长(或CP的取值范围);如果不能,请简要说明理由.
如图,已知两条直线a∥b,直线a、b间的距离为h,点M、N在直线a上,MN=x;点P在直线b上,并且x+h=40.(1)记△PMN的面积为S,①求S与x的函数关系,并求出MN的长为多少时△PMN的面积最大?最大面积是多少?②当△PMN的面积最大时,能求出∠PMN的正切值吗?为什么?(2)请你用尺规作图的方法确定△PMN的周长最小时点P的位置(要求不写作法,但保留作图痕迹);并判断△PMN的形状;(3)请你在(2)②中得到的△PMN内求一点P,使得AP+AM+AN的和最小,求出AP+AM+AN和的最小值.
在学统计知识时,老师留的作业是:“请联系自己身边的事物,用所学的统计知识编制一道统计题.”小明就以他们小区的超市每天卖面包的情景编制了如下题目:某小区超市一段时间每天订购80个面包进行销售,每售出1个面包获利润0.5元,未售出的每个专损0.3元.(1)若今后每天售出的面包个数用x(0<x≤80)表示,每天销售面包的利润用y(元)表示,写出y与x的函数关系式;(2)小明连续m天对该超市的面包销量进行统计,并制成了频数分别直方图(每个组距包含左边的数,但不包含右边的数)和扇形统计图,如图1、图2所示,请根据两图提供的信息计算在m天内日销售利润少于32元的天数;(3)如图(2)中m天内日销售面包个数在70≤x<80这个组内的销售情况如下表:
请计算该组内平均每天销售面包的个数.