如图,已知抛物线的对称轴是 y 轴,且点 ( 2 , 2 ) , ( 1 , 5 4 ) 在抛物线上,点 P 是抛物线上不与顶点 N 重合的一动点,过 P 作 PA ⊥ x 轴于 A , PC ⊥ y 轴于 C ,延长 PC 交抛物线于 E ,设 M 是 O 关于抛物线顶点 N 的对称点, D 是 C 点关于 N 的对称点.
(1)求抛物线的解析式及顶点 N 的坐标;
(2)求证:四边形 PMDA 是平行四边形;
(3)求证: ΔDPE ∽ ΔPAM ,并求出当它们的相似比为 3 时的点 P 的坐标.
如图,在矩形OABC中,点A(0,10),C(8,0).沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处.分别以OC, OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线经过O,D,C三点.(1)求D的的坐标及抛物线的解析式;(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
如图所示.某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造.已知△ABC的边BC长120米,高AD长80米.学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分(如图).其中矩形EFGH的一边EF在边BC上.其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在△AHG上种草,每平方米投资6元;在△BHE、△FCG上都种花,每平方米投资10元;在矩形EFGH上兴建爱心鱼池,每平方米投资4元.(1)当FG长为多少米时,种草的面积与种花的面积相等?(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时,△ABC空地改造总投资最小,最小值为多少?
小明和同桌小聪在课后做作业时,对课本中的一道作业题,进行了认真探索.【作业题】如图1,一个半径为100m的圆形人工湖如图所示,弦AB是湖上的一座桥,测得圆周角∠C=45°,求桥AB的长.小明和小聪经过交流,得到了如下的两种解决方法:方法一:延长BO交⊙O与点E,连接AE,得 Rt△ABE,∠E=∠C,∴AB=;方法二:作AB的弦心距OH,连接OB, ∴∠BOH=∠C,解Rt△OHB, ∴HB=,∴AB=.感悟:圆内接三角形的一边和这边的对锐角、圆的半径(或直径)这三者关系,可构成直角三角形,从而把一边和这边的对锐角﹑半径建立一个关系式.(1)问题解决:受到(1)的启发,请你解下面命题:如图2,点A(3,0)、B(0,),C为直线AB上一点,过A、O、C的⊙E的半径为2.求线段OC的长.(2)问题拓展:如图3,△ABC中,∠ ACB=75°,∠ABC=45°,AB=,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连结EF, 设⊙O半径为x, EF为y.①y关于x的函数关系式;②求线段EF长度的最小值.
定义:已知反比例函数与,如果存在函数()则称函数为这两个函数的中和函数.(1)试写出一对函数,使得它的中和函数为,并且其中一个函数满足:当时,随的增大而增大.(2) 函数和的中和函数的图象和函数的图象相交于两点,试求当的函数值大于的函数值时的取值范围.
为倡导“低碳生活”,常选择以自行车作为代步工具,如图1所示是一辆自行车的实物图.车架档AC与CD的长分别为45㎝,60㎝,且它们互相垂直,座杆CE的长为20 cm,点A,C ,E在同一条直线上,且∠CAB=75°,如图2.(1)求车架档AD的长;(2)求车座点E到车架档AB的距离.(结果精确到1 cm.参考数据: sin75°=0.9659,cos75°=0.2588,tan75°=3.7321)