初中数学二次函数的性质解答题

若三个非零实数 $x$， $y$， $z$满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$， $y$， $z$构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

（2）若 $M(t,y_1)$， $N(t+1,y_2)$， $R(t+3,y_3)$三点均在函数 $y=\frac{k}{x}(k$为常数， $k\ne 0)$的图象上，且这三点的纵坐标 $y_1$， $y_2$， $y_3$构成“和谐三组数”，求实数 $t$的值；

（3）若直线 $y=2\mathit{bx}+2c(\mathit{bc}\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(x_1$， $0)$，与抛物线 $y=a{x}^2+3\mathit{bx}+3c(a\ne 0)$交于 $B(x_2$， $y_2)$， $C(x_3$， $y_3)$两点．

①求证： $A$， $B$， $C$三点的横坐标 $x_1$， $x_2$， $x_3$构成“和谐三组数”；

②若 $a>2b>3c$， $x_2=1$，求点 $P(\frac{c}{a}$， $\frac{b}{a})$与原点 $O$的距离 $\mathit{OP}$的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-3\mathit{ax}-4a$ 的图象经过点 $C(0,2)$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧），连接 $\mathit{BC}$ ，直线 $y=\mathit{kx}+1(k>0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线交于点 $E$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

（2） $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{DF}}$ 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$经过 $A(-1,0)$， $B(1,1)$两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=k_{1}x+b_1(k_1$， $b_1$为常数，且 $k_1\ne 0)$，直线 $l_2:y=k_{2}x+b_2(k_2$， $b_2$为常数，且 $k_2\ne 0)$，若 $l_1\perp l_2$，则 $k_1·k_2=-1$．

解决问题：

①若直线 $y=3x-1$与直线 $y=\mathit{mx}+2$互相垂直，求 $m$的值；

②抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAB}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$是抛物线上一动点，且在直线 $\mathit{AB}$的上方（不与 $A$， $B$重合），求点 $M$到直线 $\mathit{AB}$的距离的最大值．

如图，两条抛物线 $y_1=-x^2+4$， $y_2=-\frac{1}{5}{x}^2+\mathit{bx}+c$相交于 $A$， $B$两点，点 $A$在 $x$轴负半轴上，且为抛物线 $y_2$的最高点．

（1）求抛物线 $y_2$的解析式和点 $B$的坐标；

（2）点 $C$是抛物线 $y_1$上 $A$， $B$之间的一点，过点 $C$作 $x$轴的垂线交 $y_2$于点 $D$，当线段 $\mathit{CD}$取最大值时，求 $S_{\mathit{\Delta BCD}}$．

某学习小组在研究函数 $y=\frac{1}{6}{x}^3-2x$的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．

$x$	$\dots$	$-4$	$-3.5$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	3.5	4	$\dots$
$y$	$\dots$	$-\frac{8}{3}$	$-\frac{7}{48}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{8}{3}$	$\frac{11}{6}$	0	$-\frac{11}{6}$	$-\frac{8}{3}$	$-\frac{3}{2}$	$\frac{7}{48}$	$\frac{8}{3}$	$\dots$

（1）请补全函数图象；

（2）方程 $\frac{1}{6}{x}^3-2x=-2$实数根的个数为　     　；

（3）观察图象，写出该函数的两条性质．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+4x-3$图象的顶点是 $A$，与 $x$轴交于 $B$， $C$两点，与 $y$轴交于点 $D$．点 $B$的坐标是 $(1,0)$．

（1）求 $A$， $C$两点的坐标，并根据图象直接写出当 $y>0$时 $x$的取值范围．

（2）平移该二次函数的图象，使点 $D$恰好落在点 $A$的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

如图，已知抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其中点 $A$的坐标为 $(-3,0)$

（1）求 $b$的值及点 $B$的坐标；

（2）试判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）一动点 $P$从点 $A$出发，以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，同时动点 $Q$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度向点 $C$运动（当点 $P$运动到点 $B$时，点 $Q$随之停止运动），设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时 $\mathit{\Delta PBQ}$与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于点 $A(-4,0)$、 $B(2,0)$，交 $y$轴于点 $C(0,6)$，在 $y$轴上有一点 $E(0,-2)$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点 $D$为抛物线在 $x$轴负半轴上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta ADE}$面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta AEP}$为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 $P$点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，已知经过原点的抛物线 $y=2x^2+\mathit{mx}$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A(2,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和抛物线顶点 $M$ 的坐标；

（2）求直线 $\mathit{AM}$ 的解析式．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过 $A(2,0)$ ， $B(3n-4,y_1)$ ， $C(5n+6,y_2)$ 三点，对称轴是直线 $x=1$ ．关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=x$ 有两个相等的实数根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $n<-5$ ，试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小；

（3）若 $B$ ， $C$ 两点在直线 $x=1$ 的两侧，且 $y_1>y_2$ ，求 $n$ 的取值范围．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}$ 的图象与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 与该抛物线交于 $B$ 、 $C$ 两点（点 $B$ 位于点 $C$ 左侧），与抛物线对称轴交于点 $D(2,-3)$ ．

（1）求 $b$ 的值；

（2）设 $P$ 、 $Q$ 是 $x$ 轴上的点（点 $P$ 位于点 $Q$ 左侧），四边形 $\mathit{PBCQ}$ 为平行四边形．过点 $P$ 、 $Q$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与抛物线交于点 $P^{\text{'}}(x_1$ ， $y_1)$ 、 $Q^{\text{'}}(x_2$ ， $y_2)$ ．若 $|y_1-y_2|=2$ ，求 $x_1$ 、 $x_2$ 的值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{8}{5}x+c$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $A(2,0)$， $C(0,-4)$，直线 $l:y=-\frac{1}{2}x-4$与 $x$轴交于点 $D$，点 $P$是抛物线 $y=a{x}^2+\frac{8}{5}x+c$上的一动点，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp x$轴，垂足为 $E$，交直线 $l$于点 $F$．

（1）试求该抛物线表达式；

（2）如图（1），当点 $P$在第三象限，四边形 $\mathit{PCOF}$是平行四边形，求 $P$点的坐标；

（3）如图（2），过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp y$轴，垂足为 $H$，连接 $\mathit{AC}$．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}$是直角三角形；

②试问当 $P$点横坐标为何值时，使得以点 $P$、 $C$、 $H$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似？

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

【探究函数 y = x + 4 x 的图象与性质】

（1）函数 $y=x+\frac{4}{x}$的自变量 $x$的取值范围是　　；

（2）下列四个函数图象中函数 $y=x+\frac{4}{x}$的图象大致是　　；

（3）对于函数 $y=x+\frac{4}{x}$，求当 $x>0$时， $y$的取值范围．

请将下列的求解过程补充完整．

解： $\because x>0$

$\therefore y=x+\frac{4}{x}={\left(\sqrt{x}\right)}^2+{\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^2={(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})}^2+$　　

$\because {(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})}^2⩾0$

$\therefore y⩾$　　．

$[$拓展运用 $]$

（4）若函数 $y=\frac{x^2-5x+9}{x}$，则 $y$的取值范围　　．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $(3,12)$和 $(-2,-3)$，与两坐标轴的交点分别为 $A$， $B$， $C$，它的对称轴为直线 $l$．

（1）求该抛物线的表达式；

（2） $P$是该抛物线上的点，过点 $P$作 $l$的垂线，垂足为 $D$， $E$是 $l$上的点．要使以 $P$、 $D$、 $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$全等，求满足条件的点 $P$，点 $E$的坐标．