初中数学二次函数的性质解答题

如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．

（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，点 $O$为原点，平行于 $x$轴的直线与抛物线 $L:y=a{x}^2$相交于 $A$， $B$两点（点 $B$在第一象限），点 $D$在 $\mathit{AB}$的延长线上．

（1）已知 $a=1$，点 $B$的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线 $L$使该抛物线过点 $B$，与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $C$，求 $\mathit{AC}$的长．

②如图2，若 $\mathit{BD}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，过点 $B$， $D$的抛物线 $L_2$，其顶点 $M$在 $x$轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若 $\mathit{BD}=\mathit{AB}$，过 $O$， $B$， $D$三点的抛物线 $L_3$，顶点为 $P$，对应函数的二次项系数为 $a_3$，过点 $P$作 $\mathit{PE}//x$轴，交抛物线 $L$于 $E$， $F$两点，求 $\frac{a_3}{a}$的值，并直接写出 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{EF}}$的值．

已知是常数，抛物线的对称轴是轴，并且与轴有两个交点．

（1）求的值；

（2）若点在物线上，且到轴的距离是2，求点的坐标．

已知函数 $y_1=a{x}^2+\mathit{bx}$， $y_2=\mathit{ax}+b(\mathit{ab}\ne 0)$．在同一平面直角坐标系中．

（1）若函数 $y_1$的图象过点 $(-1,0)$，函数 $y_2$的图象过点 $(1,2)$，求 $a$， $b$的值．

（2）若函数 $y_2$的图象经过 $y_1$的顶点．

①求证： $2a+b=0$；

②当 $1<x<\frac{3}{2}$时，比较 $y_1$， $y_2$的大小．

在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线的“不动点”的坐标；

②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．

如图，已知二次函数的图象经过点．

（1）求的值和图象的顶点坐标．

（2）点在该二次函数图象上．

①当时，求的值；

②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=(x-a)(x-3)(0<a<3)$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $D$，过其顶点 $C$作直线 $\mathit{CP}\perp x$轴，垂足为点 $P$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求点 $A$、 $B$、 $D$的坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta AOD}$与 $\mathit{\Delta BPC}$相似，求 $a$的值；

（3）点 $D$、 $O$、 $C$、 $B$能否在同一个圆上？若能，求出 $a$的值；若不能，请说明理由．

如图①，直线 y＝ $\frac{1}{2}$ x﹣3与 x轴、 y轴分别交于点 B， C，抛物线 y＝ $\frac{1}{4}{x}^2$ + bx+ c过 B， C两点，且与 x轴的另一个交点为点 A，连接 AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点 D（与点 A不重合），使得 S _{△ DBC}＝ S _{△ ABC}，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿 x轴方向平移，与 y轴平行的一组对边交抛物线于点 P和点 Q，交直线 CB于点 M和点 N，在矩形平移过程中，当以点 P， Q， M， N为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{8}{5}x+c$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $A(2,0)$， $C(0,-4)$，直线 $l:y=-\frac{1}{2}x-4$与 $x$轴交于点 $D$，点 $P$是抛物线 $y=a{x}^2+\frac{8}{5}x+c$上的一动点，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp x$轴，垂足为 $E$，交直线 $l$于点 $F$．

（1）试求该抛物线表达式；

（2）如图（1），当点 $P$在第三象限，四边形 $\mathit{PCOF}$是平行四边形，求 $P$点的坐标；

（3）如图（2），过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp y$轴，垂足为 $H$，连接 $\mathit{AC}$．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}$是直角三角形；

②试问当 $P$点横坐标为何值时，使得以点 $P$、 $C$、 $H$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似？

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于点 $A(-4,0)$、 $B(2,0)$，交 $y$轴于点 $C(0,6)$，在 $y$轴上有一点 $E(0,-2)$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点 $D$为抛物线在 $x$轴负半轴上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta ADE}$面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta AEP}$为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 $P$点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{AB}$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A(-1,0)$和 $B(2,3)$两点，抛物线与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求一次函数和二次函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=x^2-2(k-1)x+k^2-\frac{5}{2}k(k$为常数）．

（1）若抛物线经过点 $(1,k^2)$，求 $k$的值；

（2）若抛物线经过点 $(2k,y_1)$和点 $(2,y_2)$，且 $y_1>y_2$，求 $k$的取值范围；

（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当 $1⩽x⩽2$时，新抛物线对应的函数有最小值 $-\frac{3}{2}$，求 $k$的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点， $C$为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 $x$轴于点 $D$，连结 $\mathit{BC}$，且 $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{4}{3}$，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $P$是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点 $P$作 $x$轴的平行线交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{PE}$交抛物线于点 $F$，连结 $\mathit{FB}$、 $\mathit{FC}$，求 $\mathit{\Delta BCF}$的面积的最大值；

②连结 $\mathit{PB}$，求 $\frac{3}{5}\mathit{PC}+\mathit{PB}$的最小值．

如图，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-4,0)$， $P$是抛物线上一点（点 $P$与点 $A$、 $B$、 $C$不重合）．

（1） $b=$　　，点 $B$的坐标是　　；

（2）设直线 $\mathit{PB}$与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $M$，是否存在这样的点 $P$，使得 $\mathit{PM}:\mathit{MB}=1:2$？若存在，求出点 $P$的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，判断 $\angle \mathit{CAB}$和 $\angle \mathit{CBA}$的数量关系，并说明理由．