初中数学二次函数的性质解答题

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的对称轴为直线 $x=2$，抛物线与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，且点 $A$的坐标为 $(-1,0)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$图象 $x$轴下方部分沿 $x$轴向上翻折，保留抛物线在 $x$轴上的点和 $x$轴上方图象，得到的新图象与直线 $y=t$恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 $D$， $E$， $F$， $G$．当以 $\mathit{EF}$为直径的圆过点 $Q(2,1)$时，求 $t$的值；

（3）在抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上，当 $m⩽x⩽n$时， $y$的取值范围是 $m⩽y⩽7$，请直接写出 $x$的取值范围．

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}-3$经过点 $(-1,0)$，则 $b=$　　，顶点坐标为　　，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是　　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，以 $y$轴上的点 $M(0,m)$为中心，作该抛物线关于点 $M$中心对称的抛物线 $y\text{'}$，则我们又称抛物线 $y\text{'}$为抛物线 $y$的“衍生抛物线”，点 $M$为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 $y=-x^2-2x+5$关于点 $(0,m)$的衍生抛物线为 $y\text{'}$，若这两条抛物线有交点，求 $m$的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}-b(a\ne 0)$

①若抛物线 $y$的衍生抛物线为 $y\text{'}=b{x}^2-2\mathit{bx}+a^2(b\ne 0)$，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$、 $b$的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 $y$关于点 $(0,k+1^2)$的衍生抛物线为 $y_1$，其顶点为 $A_1$；关于点 $(0,k+2^2)$的衍生抛物线为 $y_2$，其顶点为 $A_2$； $\dots$；关于点 $(0,k+n^2)$的衍生抛物线为 $y_n$，其顶点为 $A_n\dots (n$为正整数）．求 $A_n{A}_{n+1}$的长（用含 $n$的式子表示）．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 过 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta AOC}\backsim \mathit{\Delta ACB}$ ；

（3）点 $M(3,2)$ 是抛物线上的一点，点 $D$ 为抛物线上位于直线 $\mathit{BC}$ 上方的一点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp x$ 轴交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴上一动点，当线段 $\mathit{DE}$ 的长度最大时，求 $\mathit{PD}+\mathit{PM}$ 的最小值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C_1:y=m{x}^2+n(m\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的负半轴交于点 $C$，其中 $A(-1,0)$， $C(0,-1)$．

（1）求抛物线 $C_1$及直线 $\mathit{AC}$的解析式．

（2）沿直线 $\mathit{AC}$由 $A$至 $C$ 的方向平移抛物线 $C_1$，得到新的抛物线 $C_2$， $C_2$上的点 $D$为 $C_1$上的点 $C$的对应点，若抛物线 $C_2$恰好经过点 $B$，同时与 $x$轴交于另一点 $E$，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{DE}$，试判断 $\mathit{\Delta ODE}$的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若 $P$为线段 $\mathit{OE}$（不含端点）上一动点，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{DE}$于 $F$， $\mathit{PG}\perp \mathit{OD}$于点 $G$，设 $\mathit{PF}=h_1$， $\mathit{PG}=h_2$．试判断 $h_1·h_2$的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点 $P$的坐标；如不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点，顶点为 $D(0,4)$， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$，设点 $F(m,0)$是 $x$轴的正半轴上一点，将抛物线 $C$绕点 $F$旋转 $180°$，得到新的抛物线 $C\text{'}$．

（1）求抛物线 $C$的函数表达式；

（2）若抛物线 $C\text{'}$与抛物线 $C$在 $y$轴的右侧有两个不同的公共点，求 $m$的取值范围．

（3）如图2， $P$是第一象限内抛物线 $C$上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 $P$在抛物线 $C\text{'}$上的对应点 $P\text{'}$，设 $M$是 $C$上的动点， $N$是 $C\text{'}$上的动点，试探究四边形 $\mathit{PMP}\text{'}N$能否成为正方形？若能，求出 $m$的值；若不能，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-\frac{3}{2}x-2(a\ne 0)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $B$点坐标为 $(4,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点 $M$是线段 $\mathit{BC}$下方的抛物线上一点，求 $\mathit{\Delta MBC}$的面积的最大值，并求出此时 $M$点的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A$， $B$两点的坐标分别为 $(-4,0)$， $(4,0)$， $C(m,0)$是线段 $\mathit{AB}$上一点（与 $A$， $B$点不重合），抛物线 $L_1:y=a{x}^2+b_{1}x+c_1(a<0)$经过点 $A$， $C$，顶点为 $D$，抛物线 $L_2:y=a{x}^2+b_{2}x+c_2(a<0)$经过点 $C$， $B$，顶点为 $E$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$的延长线相交于点 $F$．

（1）若 $a=-\frac{1}{2}$， $m=-1$，求抛物线 $L_1$， $L_2$的解析式；

（2）若 $a=-1$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BF}$，求 $m$的值；

（3）是否存在这样的实数 $a(a<0)$，无论 $m$取何值，直线 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BF}$都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 $a$的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-3,0)$， $B(-2,3)$， $C(0,3)$，其顶点为 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $M(1,m)$，当 $\mathit{MB}+\mathit{MD}$的值最小时，求 $m$的值；

（3）若 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta APC}$的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $N$， $E$为直线 $\mathit{AC}$上任意一点，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{ND}$交抛物线于点 $F$，以 $N$， $D$， $E$， $F$为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 $E$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，已知两直线 $l_1$， $l_2$分别经过点 $A(1,0)$，点 $B(-3,0)$，且两条直线相交于 $y$轴的正半轴上的点 $C$，当点 $C$的坐标为 $(0,\sqrt{3})$时，恰好有 $l_1\perp l_2$，经过点 $A$、 $B$、 $C$的抛物线的对称轴与 $l_1$、 $l_2$、 $x$轴分别交于点 $G$、 $E$、 $F$， $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）试说明 $\mathit{DG}$与 $\mathit{DE}$的数量关系？并说明理由；

（3）若直线 $l_2$绕点 $C$旋转时，与抛物线的另一个交点为 $M$，当 $\mathit{\Delta MCG}$为等腰三角形时，请直接写出点 $M$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴相交于点 $A(0,3)$，与 $x$正半轴相交于点 $B$，对称轴是直线 $x=1$

（1）求此抛物线的解析式以及点 $B$的坐标．

（2）动点 $M$从点 $O$出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $x$轴正方向运动，同时动点 $N$从点 $O$出发，以每秒3个单位长度的速度沿 $y$轴正方向运动，当 $N$点到达 $A$点时， $M$、 $N$同时停止运动．过动点 $M$作 $x$轴的垂线交线段 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交抛物线于点 $P$，设运动的时间为 $t$秒．

①当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{OMPN}$为矩形．

②当 $t>0$时， $\mathit{\Delta BOQ}$能否为等腰三角形？若能，求出 $t$的值；若不能，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-2)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $D$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，记 $\mathit{\Delta BDE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，过点 $O$ 作直线 $l//\mathit{BC}$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为直线 $l$ 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 $P$ ， $Q$ ，使 $\mathit{\Delta PQB}\backsim \mathit{\Delta CAB}$ ．若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+3$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $A$， $B$两点，经过 $A$， $B$两点的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的正半轴相交于点 $C(1,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $P$为线段 $\mathit{AB}$上一点， $\angle \mathit{APO}=\angle \mathit{ACB}$，求 $\mathit{AP}$的长；

（3）在（2）的条件下，设 $M$是 $y$轴上一点，试问：抛物线上是否存在点 $N$，使得以 $A$， $P$， $M$， $N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点， $C$为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 $x$轴于点 $D$，连结 $\mathit{BC}$，且 $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{4}{3}$，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $P$是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点 $P$作 $x$轴的平行线交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{PE}$交抛物线于点 $F$，连结 $\mathit{FB}$、 $\mathit{FC}$，求 $\mathit{\Delta BCF}$的面积的最大值；

②连结 $\mathit{PB}$，求 $\frac{3}{5}\mathit{PC}+\mathit{PB}$的最小值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$过 $A(1,0)$、 $B(-3,0)$，直线 $\mathit{AD}$交抛物线于点 $D$，点 $D$的横坐标为 $-2$，点 $P(m,n)$是线段 $\mathit{AD}$上的动点，过点 $P$的直线垂直于 $x$轴，交抛物线于点 $Q$．

（1）求直线 $\mathit{AD}$及抛物线的解析式；

（2）求线段 $\mathit{PQ}$的长度 $l$与 $m$的关系式， $m$为何值时， $\mathit{PQ}$最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数） $R$，使得 $P$、 $Q$、 $D$、 $R$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $R$的坐标；若不存在，说明理由．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与坐标轴分别交于点 $A(0,6)$， $B(6,0)$， $C(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PAB}$的面积有最大值？

（3）过点 $P$作 $x$轴的垂线，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$，再过点 $P$做 $\mathit{PE}//x$轴交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，请问是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．