在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中（如图），已知抛物线$y=x^2-2x$，其顶点为$A$．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点$A$的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线$y=x^2-2x$的“不动点”的坐标；

②平移抛物线$y=x^2-2x$，使所得新抛物线的顶点$B$是该抛物线的“不动点”，其对称轴与$x$轴交于点$C$，且四边形$\mathit{OABC}$是梯形，求新抛物线的表达式．