初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=2x+6$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交点 $C$，抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$， $C$两点，与 $x$轴交于另一点 $B$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上有一动点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $F$，当 $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{BF}$时，求 $\sin \angle \mathit{EBA}$的值．

（3）点 $N$是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点 $E$位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点 $M$，使以 $M$， $N$， $E$， $B$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3a(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A$， $B$．与 $y$轴交于点 $C$．连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．已知 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于 $x$轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $P$， $Q$两点．过 $P$， $Q$向 $x$轴作垂线，垂足分别为 $G$， $H$．若四边形 $\mathit{PGHQ}$为正方形，求正方形的边长；

（3）如图2，平行于 $y$轴的直线交抛物线于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$ $(2,0)$．点 $D$是抛物线上 $A$， $M$之间的一动点，且点 $D$不与 $A$， $M$重合，连接 $\mathit{DB}$交 $\mathit{MN}$于点 $E$．连接 $\mathit{AD}$并延长交 $\mathit{MN}$于点 $F$．在点 $D$运动过程中， $3\mathit{NE}+\mathit{NF}$是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

如图，已知 $A(-2,0)$， $B(4,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-1$过 $A$、 $B$两点，并与过 $A$点的直线 $y=-\frac{1}{2}x-1$交于点 $C$．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 $P$，使四边形 $\mathit{ACPO}$的周长最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点 $M$为 $y$轴右侧抛物线上一点，过点 $M$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $N$．问：是否存在这样的点 $N$，使以点 $M$、 $N$、 $C$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，若存在，求出点 $N$的坐标，若不存在，请说明理由．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与坐标轴分别交于点 $A(0,6)$， $B(6,0)$， $C(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PAB}$的面积有最大值？

（3）过点 $P$作 $x$轴的垂线，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$，再过点 $P$做 $\mathit{PE}//x$轴交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，请问是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系中，直线 $y=\frac{1}{2}x-2$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过 $B$， $C$两点，且与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，动点 $D$在直线 $\mathit{BC}$下方的二次函数图象上．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，连接 $\mathit{DC}$， $\mathit{DB}$，设 $\mathit{\Delta BCD}$的面积为 $S$，求 $S$的最大值；

（3）如图2，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDM}$中的某个角恰好等于 $\angle \mathit{ABC}$的2倍？若存在，直接写出点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线的顶点为 $A(h,-1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,-\frac{1}{2})$ ，点 $F(2,1)$ 为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线 $l$ 是过点 $C(0,-3)$ 且垂直于 $y$ 轴的定直线，若抛物线上的任意一点 $P(m,n)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求证： $\mathit{PF}=d$ ；

（3）已知坐标平面内的点 $D(4,3)$ ，请在抛物线上找一点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta DFQ}$ 的周长最小，并求此时 $\mathit{\Delta DFQ}$ 周长的最小值及点 $Q$ 的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-2)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $D$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，记 $\mathit{\Delta BDE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，过点 $O$ 作直线 $l//\mathit{BC}$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为直线 $l$ 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 $P$ ， $Q$ ，使 $\mathit{\Delta PQB}\backsim \mathit{\Delta CAB}$ ．若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a$、 $b$为常数， $a\ne 0)$与 $x$轴相交于另一点 $A(3,0)$．直线 $l:y=x$在第一象限内和此抛物线相交于点 $B(5,t)$，与抛物线的对称轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上找一点 $P$，使以点 $P$、 $O$、 $C$为顶点的三角形与以点 $A$、 $O$、 $B$为顶点的三角形相似，求满足条件的点 $P$的坐标；

（3）直线 $l$沿着 $x$轴向右平移得到直线 $l\text{'}$， $l\text{'}$与线段 $\mathit{OA}$相交于点 $M$，与 $x$轴下方的抛物线相交于点 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp x$轴于点 $E$．把 $\mathit{\Delta MEN}$沿直线 $l\text{'}$折叠，当点 $E\text{'}$恰好落在抛物线上时（图 $2)$，求直线 $l\text{'}$的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图 $3)$，直线 $l\text{'}$与 $y$轴相交于点 $K$，把 $\mathit{\Delta MOK}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$得到△ $M\text{'}\mathit{OK}\text{'}$，点 $F$为直线 $l\text{'}$上的动点．当△ $M^{\text{'}}\mathit{FK}\text{'}$为等腰三角形时，求满足条件的点 $F$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-3,0)$， $B(-2,3)$， $C(0,3)$，其顶点为 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $M(1,m)$，当 $\mathit{MB}+\mathit{MD}$的值最小时，求 $m$的值；

（3）若 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta APC}$的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $N$， $E$为直线 $\mathit{AC}$上任意一点，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{ND}$交抛物线于点 $F$，以 $N$， $D$， $E$， $F$为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 $E$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴相交于点 $A(0,3)$，与 $x$正半轴相交于点 $B$，对称轴是直线 $x=1$

（1）求此抛物线的解析式以及点 $B$的坐标．

（2）动点 $M$从点 $O$出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $x$轴正方向运动，同时动点 $N$从点 $O$出发，以每秒3个单位长度的速度沿 $y$轴正方向运动，当 $N$点到达 $A$点时， $M$、 $N$同时停止运动．过动点 $M$作 $x$轴的垂线交线段 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交抛物线于点 $P$，设运动的时间为 $t$秒．

①当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{OMPN}$为矩形．

②当 $t>0$时， $\mathit{\Delta BOQ}$能否为等腰三角形？若能，求出 $t$的值；若不能，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-\frac{3}{2}x-2(a\ne 0)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $B$点坐标为 $(4,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点 $M$是线段 $\mathit{BC}$下方的抛物线上一点，求 $\mathit{\Delta MBC}$的面积的最大值，并求出此时 $M$点的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C_1:y=m{x}^2+n(m\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的负半轴交于点 $C$，其中 $A(-1,0)$， $C(0,-1)$．

（1）求抛物线 $C_1$及直线 $\mathit{AC}$的解析式．

（2）沿直线 $\mathit{AC}$由 $A$至 $C$ 的方向平移抛物线 $C_1$，得到新的抛物线 $C_2$， $C_2$上的点 $D$为 $C_1$上的点 $C$的对应点，若抛物线 $C_2$恰好经过点 $B$，同时与 $x$轴交于另一点 $E$，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{DE}$，试判断 $\mathit{\Delta ODE}$的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若 $P$为线段 $\mathit{OE}$（不含端点）上一动点，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{DE}$于 $F$， $\mathit{PG}\perp \mathit{OD}$于点 $G$，设 $\mathit{PF}=h_1$， $\mathit{PG}=h_2$．试判断 $h_1·h_2$的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点 $P$的坐标；如不存在，请说明理由．

如图所示，将二次函数 $y=x^2+2x+1$的图象沿 $x$轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象．函数 $y=x^2+2x+1$的图象的顶点为点 $A$．函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象的顶点为点 $B$，和 $x$轴的交点为点 $C$， $D$（点 $D$位于点 $C$的左侧）．

（1）求函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的解析式；

（2）从点 $A$， $C$， $D$三个点中任取两个点和点 $B$构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点 $M$是线段 $\mathit{BC}$上的动点，点 $N$是 $\mathit{\Delta ABC}$三边上的动点，是否存在以 $\mathit{AM}$为斜边的 $\text{Rt}\Delta \text{AMN}$，使 $\mathit{\Delta AMN}$的面积为 $\mathit{\Delta ABC}$面积的 $\frac{1}{3}$？若存在，求 $\tan \angle \mathit{MAN}$的值；若不存在，请说明理由．

如图，点 $P$为抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2$上一动点．

（1）若抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2$是由抛物线 $y=\frac{1}{4}{(x+2)}^2-1$通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

（2）若直线 $l$经过 $y$轴上一点 $N$，且平行于 $x$轴，点 $N$的坐标为 $(0,-1)$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp l$于 $M$．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 $F$，使得 $\mathit{PM}=\mathit{PF}$恒成立？若存在，求出点 $F$的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点 $Q$的坐标为 $(1,5)$，求 $\mathit{QP}+\mathit{PF}$的最小值．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2x+1(a\ne 0)$ 的对称轴为直线 $x=1$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）若点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都在此抛物线上，且 $-1<x_1<0$ ， $1<x_2<2$ ．比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小，并说明理由；

（3）设直线 $y=m(m>0)$ 与抛物线 $y=a{x}^2-2x+1$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，与抛物线 $y=3{(x-1)}^2$ 交于点 $C$ ， $D$ ，求线段 $\mathit{AB}$ 与线段 $\mathit{CD}$ 的长度之比．