初中数学二次函数的性质解答题

如图1，抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3a(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A$， $B$．与 $y$轴交于点 $C$．连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．已知 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于 $x$轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $P$， $Q$两点．过 $P$， $Q$向 $x$轴作垂线，垂足分别为 $G$， $H$．若四边形 $\mathit{PGHQ}$为正方形，求正方形的边长；

（3）如图2，平行于 $y$轴的直线交抛物线于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$ $(2,0)$．点 $D$是抛物线上 $A$， $M$之间的一动点，且点 $D$不与 $A$， $M$重合，连接 $\mathit{DB}$交 $\mathit{MN}$于点 $E$．连接 $\mathit{AD}$并延长交 $\mathit{MN}$于点 $F$．在点 $D$运动过程中， $3\mathit{NE}+\mathit{NF}$是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

如图，抛物线的顶点为 $A(h,-1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,-\frac{1}{2})$ ，点 $F(2,1)$ 为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线 $l$ 是过点 $C(0,-3)$ 且垂直于 $y$ 轴的定直线，若抛物线上的任意一点 $P(m,n)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求证： $\mathit{PF}=d$ ；

（3）已知坐标平面内的点 $D(4,3)$ ，请在抛物线上找一点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta DFQ}$ 的周长最小，并求此时 $\mathit{\Delta DFQ}$ 周长的最小值及点 $Q$ 的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-2)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $D$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，记 $\mathit{\Delta BDE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，过点 $O$ 作直线 $l//\mathit{BC}$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为直线 $l$ 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 $P$ ， $Q$ ，使 $\mathit{\Delta PQB}\backsim \mathit{\Delta CAB}$ ．若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-1.0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$，顶点为 $D$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点 $D$的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点 $P$，使得以点 $P$、 $D$、 $A$为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 $P$点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以直线 $x=\frac{5}{2}$对称轴的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $l:y=\mathit{kx}+m(k>0)$交于 $A(1,1)$， $B$两点，与 $y$轴交于 $C(0,5)$，直线 $l$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线 $l$与抛物线的对称轴的交点为 $F$， $G$是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{FB}}=\frac{3}{4}$，且 $\mathit{\Delta BCG}$与 $\mathit{\Delta BCD}$面积相等，求点 $G$的坐标；

（3）若在 $x$轴上有且仅有一点 $P$，使 $\angle \mathit{APB}=90°$，求 $k$的值．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-1,0)$， $B(0,-2)$，并与 $x$轴交于点 $C$，点 $M$是抛物线对称轴 $l$上任意一点（点 $M$， $B$， $C$三点不在同一直线上）．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在抛物线上找出两点 $P_1$， $P_2$，使得△ $M{P}_1{P}_2$与 $\mathit{\Delta MCB}$全等，并求出点 $P_1$， $P_2$的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点 $Q$，使得 $\angle \mathit{BQC}$为直角，若存在，作出点 $Q$（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点 $Q$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-3,0)$， $B(-2,3)$， $C(0,3)$，其顶点为 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $M(1,m)$，当 $\mathit{MB}+\mathit{MD}$的值最小时，求 $m$的值；

（3）若 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta APC}$的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $N$， $E$为直线 $\mathit{AC}$上任意一点，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{ND}$交抛物线于点 $F$，以 $N$， $D$， $E$， $F$为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 $E$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴相交于点 $A(0,3)$，与 $x$正半轴相交于点 $B$，对称轴是直线 $x=1$

（1）求此抛物线的解析式以及点 $B$的坐标．

（2）动点 $M$从点 $O$出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $x$轴正方向运动，同时动点 $N$从点 $O$出发，以每秒3个单位长度的速度沿 $y$轴正方向运动，当 $N$点到达 $A$点时， $M$、 $N$同时停止运动．过动点 $M$作 $x$轴的垂线交线段 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交抛物线于点 $P$，设运动的时间为 $t$秒．

①当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{OMPN}$为矩形．

②当 $t>0$时， $\mathit{\Delta BOQ}$能否为等腰三角形？若能，求出 $t$的值；若不能，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-\frac{3}{2}x-2(a\ne 0)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $B$点坐标为 $(4,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点 $M$是线段 $\mathit{BC}$下方的抛物线上一点，求 $\mathit{\Delta MBC}$的面积的最大值，并求出此时 $M$点的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C_1:y=m{x}^2+n(m\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的负半轴交于点 $C$，其中 $A(-1,0)$， $C(0,-1)$．

（1）求抛物线 $C_1$及直线 $\mathit{AC}$的解析式．

（2）沿直线 $\mathit{AC}$由 $A$至 $C$ 的方向平移抛物线 $C_1$，得到新的抛物线 $C_2$， $C_2$上的点 $D$为 $C_1$上的点 $C$的对应点，若抛物线 $C_2$恰好经过点 $B$，同时与 $x$轴交于另一点 $E$，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{DE}$，试判断 $\mathit{\Delta ODE}$的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若 $P$为线段 $\mathit{OE}$（不含端点）上一动点，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{DE}$于 $F$， $\mathit{PG}\perp \mathit{OD}$于点 $G$，设 $\mathit{PF}=h_1$， $\mathit{PG}=h_2$．试判断 $h_1·h_2$的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点 $P$的坐标；如不存在，请说明理由．

如图， $\odot M$的圆心 $M(-1,2)$， $\odot M$经过坐标原点 $O$，与 $y$轴交于点 $A$．经过点 $A$的一条直线 $l$解析式为： $y=-\frac{1}{2}x+4$与 $x$轴交于点 $B$，以 $M$为顶点的抛物线经过 $x$轴上点 $D(2,0)$和点 $C(-4,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线 $l$是 $\odot M$的切线；

（3）点 $P$为抛物线上一动点，且 $\mathit{PE}$与直线 $l$垂直，垂足为 $E$； $\mathit{PF}//y$轴，交直线 $l$于点 $F$，是否存在这样的点 $P$，使 $\mathit{\Delta PEF}$的面积最小．若存在，请求出此时点 $P$的坐标及 $\mathit{\Delta PEF}$面积的最小值；若不存在，请说明理由．

如图，已知直角坐标系中， $A$、 $B$、 $D$三点的坐标分别为 $A(8,0)$， $B(0,4)$， $D(-1,0)$，点 $C$与点 $B$关于 $x$轴对称，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$．

（1）求过 $A$、 $B$、 $D$三点的抛物线的解析式；

（2）有一动点 $E$从原点 $O$出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点 $E$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $P$，交线段 $\mathit{CA}$于点 $M$，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$，设点 $E$运动的时间为 $t(0<t<4)$秒，求四边形 $\mathit{PBCA}$的面积 $S$与 $t$的函数关系式，并求出四边形 $\mathit{PBCA}$的最大面积；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点 $H$，使得 $\mathit{\Delta ABH}$是直角三角形？若存在，请直接写出点 $H$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2x+1(a\ne 0)$ 的对称轴为直线 $x=1$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）若点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都在此抛物线上，且 $-1<x_1<0$ ， $1<x_2<2$ ．比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小，并说明理由；

（3）设直线 $y=m(m>0)$ 与抛物线 $y=a{x}^2-2x+1$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，与抛物线 $y=3{(x-1)}^2$ 交于点 $C$ ， $D$ ，求线段 $\mathit{AB}$ 与线段 $\mathit{CD}$ 的长度之比．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点，顶点为 $D(0,4)$， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$，设点 $F(m,0)$是 $x$轴的正半轴上一点，将抛物线 $C$绕点 $F$旋转 $180°$，得到新的抛物线 $C\text{'}$．

（1）求抛物线 $C$的函数表达式；

（2）若抛物线 $C\text{'}$与抛物线 $C$在 $y$轴的右侧有两个不同的公共点，求 $m$的取值范围．

（3）如图2， $P$是第一象限内抛物线 $C$上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 $P$在抛物线 $C\text{'}$上的对应点 $P\text{'}$，设 $M$是 $C$上的动点， $N$是 $C\text{'}$上的动点，试探究四边形 $\mathit{PMP}\text{'}N$能否成为正方形？若能，求出 $m$的值；若不能，请说明理由．

如图，已知两直线 $l_1$， $l_2$分别经过点 $A(1,0)$，点 $B(-3,0)$，且两条直线相交于 $y$轴的正半轴上的点 $C$，当点 $C$的坐标为 $(0,\sqrt{3})$时，恰好有 $l_1\perp l_2$，经过点 $A$、 $B$、 $C$的抛物线的对称轴与 $l_1$、 $l_2$、 $x$轴分别交于点 $G$、 $E$、 $F$， $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）试说明 $\mathit{DG}$与 $\mathit{DE}$的数量关系？并说明理由；

（3）若直线 $l_2$绕点 $C$旋转时，与抛物线的另一个交点为 $M$，当 $\mathit{\Delta MCG}$为等腰三角形时，请直接写出点 $M$的坐标．