初中数学二次函数的性质解答题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $A(1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,6)$三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点 $M$与对称轴 $l$上的点 $N$关于 $x$轴对称，直线 $\mathit{AN}$交抛物线于点 $D$，直线 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，若直线 $\mathit{BE}$将 $\mathit{\Delta ABD}$的面积分为 $1:2$两部分，求点 $E$的坐标．

（3） $P$为抛物线上的一动点， $Q$为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $A$、 $D$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+1(a\ne 0$， $a$为实数）的图象过点 $A(-2,2)$，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0$， $k$， $b$为实数）的图象 $l$经过点 $B(0,2)$．

（1）求 $a$值并写出二次函数表达式；

（2）求 $b$值；

（3）设直线 $l$与二次函数图象交于 $M$， $N$两点，过 $M$作 $\mathit{MC}$垂直 $x$轴于点 $C$，试证明： $\mathit{MB}=\mathit{MC}$；

（4）在（3）的条件下，请判断以线段 $\mathit{MN}$为直径的圆与 $x$轴的位置关系，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $B(3,0)$，经过点 $A$的直线 $\mathit{AC}$与抛物线的另一交点为 $C(4,\frac{5}{2})$，与 $y$轴交点为 $D$，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$下方的抛物线上的一个动点（不与点 $A$， $C$重合）．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $E$，作 $\mathit{PF}//y$轴交直线 $\mathit{AC}$于点 $F$，设点 $P$的横坐标为 $t$，线段 $\mathit{EF}$的长度为 $m$，求 $m$与 $t$的函数关系式．

（3）点 $Q$在抛物线的对称轴上运动，当 $\mathit{\Delta OPQ}$是以 $\mathit{OP}$为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点 $P$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中， $O$是坐标原点，抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^2-\frac{\sqrt{3}}{3}x+8\sqrt{3}$与 $x$轴正半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$，点 $M$， $N$分别是 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$的中点， $\text{Rt}\Delta \text{CDE}\cong \text{Rt}\Delta \text{ABO}$，且 $\mathit{\Delta CDE}$始终保持边 $\mathit{ED}$经过点 $M$，边 $\mathit{CD}$经过点 $N$，边 $\mathit{DE}$与 $y$轴交于点 $H$，边 $\mathit{CD}$与 $y$轴交于点 $G$．

（1）填空： $\mathit{OA}$的长是　， $\angle \mathit{ABO}$的度数是　　度；

（2）如图2，当 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，连接 $\mathit{HN}$．

①求证：四边形 $\mathit{AMHN}$是平行四边形；

②判断点 $D$是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边 $\mathit{CD}$经过点 $O$时，（此时点 $O$与点 $G$重合），过点 $D$作 $\mathit{DQ}//\mathit{OB}$，交 $\mathit{AB}$延长线上于点 $Q$，延长 $\mathit{ED}$到点 $K$，使 $\mathit{DK}=\mathit{DN}$，过点 $K$作 $\mathit{KI}//\mathit{OB}$，在 $\mathit{KI}$上取一点 $P$，使得 $\angle \mathit{PDK}=45°$（点 $P$， $Q$在直线 $\mathit{ED}$的同侧），连接 $\mathit{PQ}$，请直接写出 $\mathit{PQ}$的长．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，二次函数 $y=x^2-(m+1)x+m(m$ 是实数，且 $-1<m<0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ．已知点 $D$ 位于第一象限，且在对称轴上， $\mathit{OD}\perp \mathit{BD}$ ，点 $E$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $\mathit{OC}=\mathit{EC}$ ，连接 $\mathit{ED}$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标（用数字或含 $m$ 的式子表示）；

（2）已知点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，当 $\mathit{\Delta AFQ}$ 的周长的最小值等于 $\frac{12}{5}$ 时，求 $m$ 的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$、 $B(4,0)$、 $C(0,2)$三点，点 $D(x,y)$为抛物线上第一象限内的一个动点．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积为3时，求点 $D$的坐标；

（3）过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDE}$中的某个角等于 $\angle \mathit{ABC}$的2倍？若存在，求点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

出关于 $x$的一元二次方程，解之取其非零值可得出点 $D$的横坐标．依此即可得解．

已知，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a<0)$与 $x$轴交于 $A(3,0)$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴是直线 $x=1$， $D$为抛物线的顶点，点 $E$在 $y$轴 $C$点的上方，且 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）求证：直线 $\mathit{DE}$是 $\mathit{\Delta ACD}$外接圆的切线；

（3）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上找一点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta ACP}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $P$的坐标；

（4）在坐标轴上找一点 $M$，使以点 $B$、 $C$、 $M$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似，直接写出点 $M$的坐标．

如图1，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，已知点 $B$坐标为 $(3,0)$，点 $C$坐标为 $(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点，当 $\mathit{\Delta PBC}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $M$为该抛物线的顶点，直线 $\mathit{MD}\perp x$轴于点 $D$，在直线 $\mathit{MD}$上是否存在点 $N$，使点 $N$到直线 $\mathit{MC}$的距离等于点 $N$到点 $A$的距离？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-2,0)$， $B(4,0)$， $C(0,4)$三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）经过点 $B$的直线交 $y$轴于点 $D$，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，若 $\mathit{BD}=5\mathit{DE}$．

①求直线 $\mathit{BD}$的解析式；

②已知点 $Q$在该抛物线的对称轴 $l$上，且纵坐标为1，点 $P$是该抛物线上位于第一象限的动点，且在 $l$右侧，点 $R$是直线 $\mathit{BD}$上的动点，若 $\mathit{\Delta PQR}$是以点 $Q$为直角顶点的等腰直角三角形，求点 $P$的坐标．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过 $(-2,1)$， $(2,-3)$两点．

（1）求 $b$的值；

（2）当 $c>-1$时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　1　．

（3）设 $(m,0)$是该函数的图象与 $x$轴的一个公共点．当 $-1<m<3$时，结合函数的图象，直接写出 $a$的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-6$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ， $\mathit{OA}=2$ ， $\mathit{OB}=4$ ，直线 $l$ 是抛物线的对称轴，在直线 $l$ 右侧的抛物线上有一动点 $D$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BD}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $D$ 在 $x$ 轴的下方，当 $\mathit{\Delta BCD}$ 的面积是 $\frac{9}{2}$ 时，求 $\mathit{\Delta ABD}$ 的面积；

（3）在（2）的条件下，点 $M$ 是 $x$ 轴上一点，点 $N$ 是抛物线上一动点，是否存在点 $N$ ，使得以点 $B$ ， $D$ ， $M$ ， $N$ 为顶点，以 $\mathit{BD}$ 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过 $O(0,0)$、 $A(1,0)$、 $B(\frac{3}{2}$， $\frac{\sqrt{3}}{2})$三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若线段 $\mathit{OB}$的垂直平分线与 $y$轴交于点 $C$，与二次函数的图象在 $x$轴上方的部分相交于点 $D$，求直线 $\mathit{CD}$的解析式；

（3）在直线 $\mathit{CD}$下方的二次函数的图象上有一动点 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp x$轴，交直线 $\mathit{CD}$于 $Q$，当线段 $\mathit{PQ}$的长最大时，求点 $P$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点， $C$为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 $x$轴于点 $D$，连结 $\mathit{BC}$，且 $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{4}{3}$，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $P$是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点 $P$作 $x$轴的平行线交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{PE}$交抛物线于点 $F$，连结 $\mathit{FB}$、 $\mathit{FC}$，求 $\mathit{\Delta BCF}$的面积的最大值；

②连结 $\mathit{PB}$，求 $\frac{3}{5}\mathit{PC}+\mathit{PB}$的最小值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+3$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $A$， $B$两点，经过 $A$， $B$两点的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的正半轴相交于点 $C(1,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $P$为线段 $\mathit{AB}$上一点， $\angle \mathit{APO}=\angle \mathit{ACB}$，求 $\mathit{AP}$的长；

（3）在（2）的条件下，设 $M$是 $y$轴上一点，试问：抛物线上是否存在点 $N$，使得以 $A$， $P$， $M$， $N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．