初中数学解答题

在平面直角坐标系中， $P（a，b）$是第一象限内一点，给出如下定义： $k_1=\frac{a}{b}$和 $k_2=\frac{b}{a}$两个值中的最大值叫做点 $P$的“倾斜系数” $k$．

（1）求点 $P（6，2）$的“倾斜系数” $k$的值；

（2）①若点 $P（a，b）$的“倾斜系数” $k＝2$，请写出 $a$和 $b$的数量关系，并说明理由；

②若点 $P（a，b）$的“倾斜系数” $k＝2$，且 $a+b＝3$，求 $OP$的长；

（3）如图，边长为 $2$的正方形 $ABCD$沿直线 $AC：y＝x$运动， $P（a，b）$是正方形 $ABCD$上任意一点，且点 $P$的“倾斜系数” $\mathrm{k}\mathrm{＜}\sqrt{3}$，请直接写出 $a$的取值范围．

如图， $\odot O$是 $△ABC$的外接圆， $AB$是直径， $OD\perp OC$，连接 $AD$， $\angle ADO＝\angle BOC$， $AC$与 $OD$相交于点 $E$．

（1）求证： $AD$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $tan\angle OAC=\frac{1}{2}$， $AD=\frac{3}{2}$，求 $\odot O$的半径．

如图，点A在反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}（x＞0）$的图象上， $AB\perp x$轴，垂足为 $B（3，0）$，过 $C（5，0）$作 $CD\perp x$轴，交过 $B$点的一次函数 $y=\frac{3}{2}x+b$的图象于D点，交反比例函数的图象于 $E$点， $S_{△AOB}＝3$．

（1）求反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}（x＞0）$和一次函数 $y=\frac{3}{2}x+b$的表达式；

（2）求 $DE$的长．

掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 $y（m）$与水平距离 $x（m）$之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 $\frac{5}{3}m$，当水平距离为 $3m$时，实心球行进至最高点 $3m$处．

（1）求 $y$关于 $x$的函数表达式；

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 $6.70m$，此项考试得分为满分 $10$分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

如图，在 $Rt△ABC$中， $\angle ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm$， $M$为 $AB$边上一动点， $BN\perp CM$，垂足为 $N$．设 $A，M$两点间的距离为 $xcm（0\le x\le 5）$， $B，N$两点间的距离为 $ycm$（当点 $M$和 $B$点重合时， $B，N$两点间的距离为 $0$）．

小明根据学习函数的经验，对因变量 $y$随自变量 $x$的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是根据 $A，M$两点间的距离 $x$进行取点、画图、测量，分别得到了 $y$与 $x$的几组对应值：

$x/cm$	$0$	$0.5$	$1$	$1.5$	$1.8$	$2$	$2.5$	$3$	$3.5$	$4$	$4.5$	$5$
$y/cm$	$4$	$3.96$	$3.79$	$3.47$	$a$	$2.99$	$2.40$	$1.79$	$1.23$	$0.74$	$0.33$	$0$

请你通过计算，补全表格： $a＝$＿＿＿＿＿；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点 $（x，y）$，并画出函数 $y$关于 $x$的图象；

（3）探究性质：随着自变量 $x$的不断增大，函数 $y$的变化趋势：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（4）解决问题：当 $BN＝2AM$时， $AM$的长度大约是＿＿＿＿＿ $cm$．（结果保留两位小数）

综合与实践

问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到 $AB＝AC$，在圆上标记 $A，B，C$三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在 $A，B$点上，“矩”的另一条边与的交点标记为 $D$点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的 $A，B，C，D$四点，连接 $AD，BC$相交于点 $O$，即 $O$为圆心．

问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心 $O$．如图3，点 $A，B，C$在 $\odot O$上， $AB\perp AC$，且 $AB＝AC$，请作出圆心 $O$．（保留作图痕迹，不写作法）

类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果 $AB$和 $AC$不相等，用三角板也可以确定圆心 $O$．如图4，点 $A，B，C$在 $\odot O$上， $AB\perp AC$，请作出圆心 $O$．（保留作图痕迹，不写作法）

拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点 $A，B，C$是 $\odot O$上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心 $O$．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：

信息一：普查登记的全国大陆 $31$个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：

（数据分成 $6$组： $0\le x＜20，20\le x＜40，40\le x＜60，60\le x＜80，80\le x＜100，100\le x\le 120$）

信息二：普查登记的全国大陆 $31$个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在 $40\le x＜60$这一组的数据是： $58，47，45，40，43，42，50$；

信息三： $2010﹣2021$年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）普查登记的全国大陆 $31$个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 ＿＿＿＿百万人．

（2）下列结论正确的是＿＿＿＿．（只填序号）

①全国大陆 $31$个省、自治区、直辖市中人口数大于等于 $100$（百万人）的有2个地区；

②相对于 $2020$年， $2021$年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；

③ $2010﹣2021$年全国大陆人口自然增长率持续降低．

（3）请写出 $2016﹣2021$年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．

如图，小睿为测量公园的一凉亭 $AB$的高度，他先在水平地面点 $E$处用高 $1.5m$的测角仪DE测得 $\angle ADC＝31°$，然后沿 $EB$方向向前走 $3m$到达点 $G$处，在点 $G$处用高 $1.5m$的测角仪 $FG$测得 $\angle AFC＝42°$．求凉亭 $AB$的高度．（ $A，C，B$三点共线， $AB\perp BE，AC\perp CD，CD＝BE，BC＝DE$．结果精确到 $0.1m$）

（参考数据： $\sin 31°\approx 0.52，\cos 31°\approx 0.86，\tan 31°\approx 0.60，\sin 42°\approx 0.67，\cos 42°\approx 0.74，\tan 42°\approx 0.90$）

如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， $AB＝AE，AC＝AD，\angle BAD＝\angle EAC，\angle C＝50°$，求 $\angle D$的大小．

如图，已知抛物线 $y＝a{x}^2+bx+3（a\ne 0）$与 $x$轴交于 $A（1，0），B（4，0）$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数表达式及点 $D$的坐标；

（2）若四边形 $BCEF$为矩形， $CE＝3$．点 $M$以每秒 $1$个单位的速度从点 $C$沿 $CE$向点 $E$运动，同时点 $N$以每秒 $2$个单位的速度从点 $E$沿 $EF$向点 $F$运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以 $M、E、N$为顶点的三角形与 $△BOC$相似时，求运动时间 $t$的值；

（3）抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $P$，点 $G$是点 $P$关于点 $D$的对称点，点 $Q$是 $x$轴下方抛物线上的动点．若过点 $Q$的直线 $\mathrm{l}：\mathrm{y}＝\mathrm{kx}+\mathrm{m}（\left|\mathrm{k}\right|\mathrm{＜}\frac{9}{4}）$与抛物线只有一个公共点，且分别与线段 $GA、GB$相交于点 $H、K$，求证： $GH+GK$为定值．

如图，四边形 $ABCD$内接于圆 $O$， $AB$是直径，点 $C$是 $\stackrel{̂}{\mathrm{BD}}$的中点，延长 $AD$交 $BC$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $CE＝CD$；

（2）若 $AB＝3$， $BC=\sqrt{3}$，求 $AD$的长．

阅读下列材料：

在 $△ABC$中， $\angle A、\angle B、\angle C$所对的边分别为 $a、b、c$，求证： $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}$．

证明：如图1，过点 $C$作 $CD\perp AB$于点 $D$，则：

在 $Rt△BCD$中， $CD＝a\sin B$

在 $Rt△ACD$中， $CD＝b\sin A$

∴ $a\sin B＝b\sin A$

∴ $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}$

根据上面的材料解决下列问题：

（1）如图2，在 $△ABC$中， $\angle A、\angle B、\angle C$所对的边分别为 $a、b、c$，求证： $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}$；

（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知 $\angle A＝67°，\angle B＝53°，AC＝80$米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： $\sin 53°\approx 0.8，\sin 67°\approx 0.9$）

为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：

频数分布统计表

组别	时间 $x$（分钟）	频数
A	$0\le x＜20$	$6$
B	$20\le x＜40$	$14$
C	$40\le x＜60$	$m$
D	$60\le x＜80$	$n$
E	$80\le x＜100$	$4$

根据统计图表提供的信息解答下列问题：

（1）频数分布统计表中的 $m＝$＿＿＿＿， $n＝$＿＿＿＿；

（2）补全频数分布直方图；

（3）已知该校有 $1000$名学生，估计书面作业完成时间在 $60$分钟以上（含 $60$分钟）的学生有多少人？

（4）若 $E$组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．

如图，菱形 $ABCD$的对角线 $AC、BD$相交于点 $O$，点 $E$是 $CD$的中点，连接 $OE$，过点 $C$作 $CF\parallel BD$交 $OE$的延长线于点 $F$，连接 $DF$．

（1）求证： $△ODE≌△FCE$；

（2）试判断四边形 $ODFC$的形状，并写出证明过程．

中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的 $3.5$小时缩短至 $1$小时，运行里程缩短了 $40$千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快 $200$千米，求高铁的平均速度．