如图，点A在反比例函数ykx（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，

更新 2022-12-16
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ x ＞ 0 ）$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴，垂足为 $B （ 3 ， 0 ）$ ，过 $C （ 5 ， 0 ）$ 作 $C D ⊥ x$ 轴，交过 $B$ 点的一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的图象于D点，交反比例函数的图象于 $E$ 点， $S_{△ A O B} ＝ 3$ ．

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ x ＞ 0 ）$ 和一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的表达式；

（2）求 $D E$ 的长．

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知识背景

当 $a > 0$ 且 $x > 0$ 时，因为 ${(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}})}^{2} ⩾ 0$ ，所以 $x - 2 \sqrt{a} + \frac{a}{x} ⩾ 0$ ，从而 $x + \frac{a}{x} ⩾ 2 \sqrt{a}$ （当 $x = \sqrt{a}$ 时取等号）．

设函数 $y = x + \frac{a}{x} (a > 0, x > 0)$ ，由上述结论可知：当 $x = \sqrt{a}$ 时，该函数有最小值为 $2 \sqrt{a}$ ．

应用举例

已知函数为 $y_{1} = x (x > 0)$ 与函数 $y_{2} = \frac{4}{x} (x > 0)$ ，则当 $x = \sqrt{4} = 2$ 时， $y_{1} + y_{2} = x + \frac{4}{x}$ 有最小值为 $2 \sqrt{4} = 4$ ．

解决问题

（1）已知函数 $y_{1} = x + 3 (x > - 3)$ 与函数 $y_{2} = {(x + 3)}^{2} + 9 (x > - 3)$ ，当 $x$ 取何值时， $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ 有最小值？最小值是多少？

（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为 $x$ 天，则当 $x$ 取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？

题型：未知
难度：未知

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如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $AD$ ， $BC$ 的中点，连接 $DF$ ，过点 $E$ 作 $EH ⊥ DF$ ，垂足为 $H$ ， $EH$ 的延长线交 $DC$ 于点 $G$ ．

（1）猜想 $DG$ 与 $CF$ 的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点 $H$ 作 $MN / / CD$ ，分别交 $AD$ ， $BC$ 于点 $M$ ， $N$ ，若正方形 $ABCD$ 的边长为10，点 $P$ 是 $MN$ 上一点，求 $ΔPDC$ 周长的最小值．

题型：未知
难度：未知

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“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境， $A$ ， $B$ 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：

村庄	清理养鱼网箱人数 $/$ 人	清理捕鱼网箱人数 $/$ 人	总支出 $/$ 元
$A$	15	9	57000
$B$	10	16	68000

（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；

（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？

题型：未知
难度：未知

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在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒 $EF$ ；③ $T$ 型尺 $(CD$ 所在的直线垂直平分线段 $AB)$ ．

（1）在图1中，请你画出用 $T$ 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；

（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：

将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 $M$ ， $N$ 之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得 $MN = 10 m$ ，请你求出这个环形花坛的面积．

题型：未知
难度：未知

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某校开展研学旅行活动，准备去的研学基地有 $A$ （曲阜）、 $B$ （梁山）、 $C$ （汶上）， $D$ （泗水），每位学生只能选去一个地方，王老师对本班全体同学选取的研学基地情况进行调查统计，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

（1）求该班的总人数，并补全条形统计图．

（2）求 $D$ （泗水）所在扇形的圆心角度数；

（3）该班班委4人中，1人选去曲阜，2人选去梁山，1人选去汶上，王老师要从这4人中随机抽取2人了解他们对研学基地的看法，请你用列表或画树状图的方法，求所抽取的2人中恰好有1人选去曲阜，1人选去梁山的概率．

题型：未知
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