已知： $A$、 $B$两点在直线 $l$的同一侧，线段 $\mathit{AO}$， $\mathit{BM}$均是直线 $l$的垂线段，且 $\mathit{BM}$在 $\mathit{AO}$的右边， $\mathit{AO}=2\mathit{BM}$，将 $\mathit{BM}$沿直线 $l$向右平移，在平移过程中，始终保持 $\angle \mathit{ABP}=90°$不变， $\mathit{BP}$边与直线 $l$相交于点 $P$．

（1）当 $P$与 $O$重合时（如图2所示），设点 $C$是 $\mathit{AO}$的中点，连接 $\mathit{BC}$．求证：四边形 $\mathit{OCBM}$是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证： $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{PB}}=\frac{\mathit{OM}}{\mathit{BM}}$；

（3）若 $\mathit{AO}=2\sqrt{6}$，且当 $\mathit{MO}=2\mathit{PO}$时，请直接写出 $\mathit{AB}$和 $\mathit{PB}$的长．