初中数学解答题

某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）此次被调查的学生人数为＿＿＿＿＿＿名；

（2）补全条形统计图；

（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查结果，请你估计该校 $800$名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．

如图，在 $△ABC$中， $AD$是 $△ABC$的角平分线，分别以点 $A，D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}AD$的长为半径作弧，两弧交于点 $M，N$，作直线 $MN$，分别交 $AB，AD$， $AC$于点 $E，O，F$，连接 $DE，DF$．

（1）由作图可知，直线 $MN$是线段 $AD$的＿＿＿＿＿＿．

（2）求证：四边形AEDF是菱形．

为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号 $1，2，3，4$，分别写在完全相同的 $4$张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．

（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“ $4$”的概率是＿＿＿＿＿＿；

（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“ $2$”和“ $3$”的概率．

计算： $\sqrt{12}-3\tan 30°+$ $（\frac{1}{2}{）}^{﹣2}+$| $\left|\sqrt{3}-2\right|$．

抛物线的解析式是 $y＝﹣x^2+4x+a$．直线 $y＝﹣x+2$与 $x$轴交于点 $M$，与 $y$轴交于点 $E$，点 $F$与直线上的点 $G（5，﹣3）$关于 $x$轴对称．

（1）如图①，求射线 $MF$的解析式；

（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是 $x_1$， $x_2（x_1＜x_2）$，求 $x_1+x_2$的值；

（3）如图②，当抛物线经过点 $C（0，5）$时，分别与 $x$轴交于 $A，B$两点，且点 $A$在点 $B$的左侧．在 $x$轴上方的抛物线上有一动点 $P$，设射线 $AP$与直线 $y＝﹣x+2$交于点 $N$．求 $\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{AN}}$的最大值．

如图， $AB$是 $\odot O$的直径， $CD$是 $\odot O$的弦， $AB\perp CD$，垂足是点 $H$，过点 $C$作直线分别与 $AB，AD$的延长线交于点 $E，F$，且 $\angle ECD＝2\angle BAD$．

（1）求证： $CF$是 $\odot O$的切线；

（2）如果 $AB＝10，CD＝6$，

①求 $AE$的长；

②求 $△AEF$的面积．

习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费 $4000$元集中采购了 $A$种树苗 $500$株， $B$种树苗 $400$株，已知 $B$种树苗单价是 $A$种树苗单价的 $1.25倍$．

（1）求 $A、B$两种树苗的单价分别是多少元？

（2）红旗村决定再购买同样的树苗 $100$株用于补充栽种，其中 $A$种树苗不多于 $25$株，在单价不变，总费用不超过 $480$元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？

如图，在菱形 $ABCD$中， $\angle ABC＝60°$， $AB＝2\sqrt{3}cm$，过点 $D$作 $BC$的垂线，交 $BC$的延长线于点 $H$．点 $F$从点 $B$出发沿 $BD$方向以 $2cm/s$向点 $D$匀速运动，同时，点 $E$从点 $H$出发沿 $HD$方向以 $1cm/s$向点 $D$匀速运动．设点 $E，F$的运动时间为 $t$（单位： $s$），且 $0＜t＜3$，过 $F$作 $FG\perp BC$于点 $G$，连结 $EF$．

（1）求证：四边形 $EFGH$是矩形；

（2）连结 $FC，EC$，点 $F，E$在运动过程中， $△BFC$与 $△DCE$是否能够全等？若能，求出此时 $t$的值；若不能，请说明理由．

如图，一次函数 $y=-\frac{3}{2}x+1$与反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}$的图象在第二象限交于点 $A$，且点 $A$的横坐标为 $﹣2$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点 $B$的坐标是 $（﹣3，0）$，若点 $P$在 $y$轴上，且 $△AOP$的面积与 $△AOB$的面积相等，求点 $P$的坐标．

据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．

学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

（1）设本次问卷调查共抽取了 $m$名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是 $n$度，分别写出 $m，n$的值；

（2）根据以上调查结果，在 $12000$名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？

（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的 $3$名男士和 $2$名女士中随机抽取 $2$人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．

计算： $\sqrt{12}+（3.14﹣\pi {）}^0﹣3\tan 60°+$ $\left|1-\sqrt{3}\right|+（﹣2{）}^{﹣2}$．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{4}（x+3）（x﹣a）$与x轴交于A， $B（4，0）$两点，点C在y轴上，且 $OC＝OB$，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当 $DE\perp x$轴，且 $AE＝1$时，求DP的长；

（3）连接BD．

①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；

②如图3，连接CE，当 $CD＝AE$时，求 $BD+CE$的最小值．

已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．

【建立模型】

（1）如图1，连接BE，DE．求证： $BE＝DE$；

【模型应用】

（2）如图2，F是DE延长线上一点， $FB\perp BE$，EF交AB于点G．

①判断△FBG的形状并说明理由；

②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．

【模型迁移】

（3）如图3，F是DE延长线上一点， $FB\perp BE$，EF交AB于点G， $BE＝BF$．求证： $GE＝（\sqrt{2}-1）DE$．

如图， $△ABC$内接于 $\odot O$， $AB，CD$是 $\odot O$的直径，E是DB延长线上一点，且 $\angle DEC＝\angle ABC$．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若 $DE＝4\sqrt{5}$， $AC＝2BC$，求线段CE的长．

如图，B，C是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线 $y＝x﹣1$与x轴交于点A， $CD\perp x$轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3．

（1）求此反比例函数的表达式；

（2）求△BCE的面积．