初中数学解答题

如图所示的方格纸（ $1$格长为一个单位长度）中， $△AOB$的顶点坐标分别为 $A（3，0），O（0，0），B（3，4）$．

（1）将 $△AOB$沿 $x$轴向左平移 $5$个单位，画出平移后的 $△A_1{O}_1{B}_1$（不写作法，但要标出顶点字母）；

（2）将 $△AOB$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$，画出旋转后的 $△A_2{O}_2{B}_2$（不写作法，但要标出顶点字母）；

（3）在（2）的条件下，求点 $B$绕点 $O$旋转到点 $B_2$所经过的路径长（结果保留 $\pi$）．

先化简 $（1-\frac{1}{\mathrm{a}-1}）$ $÷\frac{\mathrm{a}-2}{2}+\frac{\mathrm{a}-1}{{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}+1}$，再从 $1，2，3$中选一个适当的数代入求值．

计算： $2\cos 45°+（\pi ﹣3.14{）}^0$ $+|1-\sqrt{2}|+$ $（\frac{1}{2}{）}^{﹣1}$．

综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断

操作一：对折矩形纸片 $ABCD$，使 $AD$与 $BC$重合，得到折痕 $EF$，把纸片展平；

操作二：在 $AD$上选一点 $P$，沿 $BP$折叠，使点 $A$落在矩形内部点 $M$处，把纸片展平，连接 $PM，BM$．

根据以上操作，当点 $M$在 $EF$上时，写出图1中一个 $30°$的角：＿＿＿＿＿＿．

（2）迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片 $ABCD$按照（1）中的方式操作，并延长 $PM$交 $CD$于点 $Q$，连接 $BQ$．

①如图2，当点 $M$在 $EF$上时， $\angle MBQ＝$＿＿＿＿＿＿ $°$， $\angle CBQ＝$＿＿＿＿＿＿ $°$；

②改变点 $P$在 $AD$上的位置（点 $P$不与点 $A，D$重合），如图3，判断 $\angle MBQ$与 $\angle CBQ$的数量关系，并说明理由．

（3）拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片 $ABCD$的边长为 $8cm$，当 $FQ＝1cm$时，直接写出 $AP$的长．

为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 $\odot O$与水平地面相切于点 $C$，推杆 $AB$与铅垂线 $AD$的夹角为 $\angle BAD$，点 $O，A，B，C，D$在同一平面内．当推杆 $AB$与铁环 $\odot O$相切于点 $B$时，手上的力量通过切点 $B$传递到铁环上，会有较好的启动效果．

（1）求证： $\angle BOC+\angle BAD＝90°$．

（2）实践中发现，切点 $B$只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 $B$是该区域内最低位置，此时点 $B$距地面的距离 $AD$最小，测得 $\cos \angle BAD=\frac{3}{5}$．已知铁环 $\odot O$的半径为 $25cm$，推杆 $AB$的长为 $75cm$，求此时 $AD$的长．

小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 $P$距地面 $0.7m$，水柱在距喷水头 $P$水平距离 $5m$处达到最高，最高点距地面 $3.2m$；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $y＝a（x﹣h{）}^2+k$，其中 $x（m）$是水柱距喷水头的水平距离， $y（m）$是水柱距地面的高度．

（1）求抛物线的表达式．

（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 $P$水平距离 $3m$．身高 $1.6m$的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆 $A$种菜苗的价格是菜苗基地的 $\frac{5}{4}$倍，用 $300$元在市场上购买的 $A$种菜苗比在菜苗基地购买的少 $3$捆．

（1）求菜苗基地每捆 $A$种菜苗的价格．

（2）菜苗基地每捆 $B$种菜苗的价格是 $30$元．学校决定在菜苗基地购买 $A，B$两种菜苗共 $100$捆，且 $A$种菜苗的捆数不超过 $B$种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对 $A，B$两种菜苗均提供 $九$折优惠．求本次购买最少花费多少钱．

开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁 $DC$的高度，如图，在 $A$处用测角仪测得拂云阁顶端 $D$的仰角为 $34°$，沿 $AC$方向前进 $15m$到达 $B$处，又测得拂云阁顶端 $D$的仰角为 $45°$．已知测角仪的高度为 $1.5m$，测量点 $A，B$与拂云阁 $DC$的底部 $C$在同一水平线上，求拂云阁 $DC$的高度（结果精确到 $1m$．参考数据： $\sin 34°\approx 0.56，\cos 34°\approx 0.83，\tan 34°\approx 0.67$）．

如图，反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}（x＞0）$的图象经过点 $A（2，4）$和点 $B$，点 $B$在点 $A$的下方， $AC$平分 $\angle OAB$，交 $x$轴于点 $C$．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 $AC$的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

（3）线段 $OA$与（2）中所作的垂直平分线相交于点 $D$，连接 $CD$．求证： $CD\parallel AB$．

2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取 $50$名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：

a．成绩频数分布表：

成绩 $x$（分）	$50\le x＜60$	$60\le x＜70$	$70\le x＜80$	$80\le x＜90$	$90\le x\le 100$
频数	$7$	$9$	$12$	$16$	$6$

b．成绩在 $70\le x＜80$这一组的是（单位：分）：

$707172727477787878797979$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，成绩的中位数是 ＿＿＿＿＿＿分，成绩不低于 $80$分的人数占测试人数的百分比为 ＿＿＿＿＿＿．

（2）这次测试成绩的平均数是 $76.4$分，甲的测试成绩是 $77$分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．

（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．

（1）计算： $\sqrt[3]{27}-$ $（\frac{1}{3}{）}^0+2^{﹣1}$；

（2）化简： $\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{\mathrm{x}}÷$ $（1-\frac{1}{\mathrm{x}}）$．

如图1，在矩形 $ABCD$中， $AB＝4，AD＝3$，点 $O$是边 $AB$上一个动点（不与点 $A$重合），连接 $EG$ $OD$，将 $△OAD$沿 $OD$折叠，得到 $△OED$；再以 $O$为圆心， $OA$的长为半径作半圆，交射线 $AB$于 $G$，连接 $AE$并延长交射线 $BC$于 $F$，连接，设 $OA＝x$．

（1）求证： $DE$是半圆 $O$的切线：

（2）当点 $E$落在 $BD$上时，求 $x$的值；

（3）当点 $E$落在 $BD$下方时，设 $△AGE$与 $△AFB$面积的比值为 $y$，确定 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（4）直接写出：当半圆 $O$与 $△BCD$的边有两个交点时， $x$的取值范围．

某企业投入 $60$万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量 $y$（万件）与售价 $x$（元/件）之间满足函数关系式 $y＝24﹣x$，第一年除 $60$万元外其他成本为 $8$元/件．

（1）求该产品第一年的利润 $w$（万元）与售价x之间的函数关系式；

（2）该产品第一年利润为 $4$万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降 $2$元/件．

①求该产品第一年的售价；

②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？

小华同学学习函数知识后，对函数 $\mathrm{y}=\left\{\begin{array}{c}4{\mathrm{x}}^2(-1\mathrm{＜}\mathrm{x}\le 0)\\ -\frac{4}{\mathrm{x}}(\mathrm{x}\le -1\mathrm{或}\mathrm{x}\mathrm{＞}0)\end{array}\right.$通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．

x

…

$﹣4$

$﹣3$

$﹣2$

$﹣1$

$-\frac{3}{4}$

$-\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{4}$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

…

y

…

$1$

$\frac{4}{3}$

$2$

$4$

$\frac{9}{4}$

$1$

$\frac{1}{4}$

$0$

﹣4

$﹣2$

$-\frac{4}{3}$

$﹣1$

…

请根据图象解答：

（1）【观察发现】

①写出函数的两条性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

②若函数图象上的两点 $（x_1，y_1），（x_2，y_2）$满足 $x_1+x_2＝0$，则 $y_1+y_2＝0$一定成立吗？　＿＿＿＿＿．（填“一定”或“不一定”）

（2）【延伸探究】如图2，将过 $A（﹣1，4），B（4，﹣1）$两点的直线向下平移 $n$个单位长度后，得到直线 $l$与函数 $y=-\frac{4}{\mathrm{x}}（x\le ﹣1）$的图象交于点 $P$，连接 $PA，PB$．

①求当 $n＝3$时，直线 $l$的解析式和 $△PAB$的面积；

②直接用含 $n$的代数式表示 $△PAB$的面积．

荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高 $AB$（含底座），先在点 $C$处用测角仪测得其顶端 $A$的仰角为 $32°$，再由点 $C$向城徽走 $6.6m$到 $E$处，测得顶端 $A$的仰角为 $45°$．已知 $B，E，C$三点在同一直线上，测角仪离地面的高度 $CD＝EF＝1.5m$，求城徽的高 $AB$．（参考数据： $\sin 32°\approx 0.530，\cos 32°\approx 0.848，\tan 32°\approx 0.625$）．