如图，反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}（x＞0）$的图象经过点 $A（2，4）$和点 $B$，点 $B$在点 $A$的下方， $AC$平分 $\angle OAB$，交 $x$轴于点 $C$．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 $AC$的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

（3）线段 $OA$与（2）中所作的垂直平分线相交于点 $D$，连接 $CD$．求证： $CD\parallel AB$．