初中数学解答题

如图，四边形 $ABCD$内接于 $\odot O$， $AC$为 $\odot O$的直径， $\angle ADB＝\angle CDB$．

（1）试判断 $△ABC$的形状，并给出证明；

（2）若 $AB=\sqrt{2}$， $AD＝1$，求 $CD$的长度．

为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了 $15$名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：

$1047541054418835108$

（1）补全月销售额数据的条形统计图．

（2）月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？

（3）根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销额定为多少合适？

物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 $y（cm）$与所挂物体质量 $x（kg）$满足函数关系 $y＝kx+15$．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．

$x$	$0$	$2$	$5$
$y$	$15$	$19$	$25$

（1）求 $y$与 $x$的函数关系式；

（2）当弹簧长度为 $20cm$时，求所挂物体的质量．

《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买 $1$本．若每人出 $8$元，则多了 $3$元；若每人出 $7$元，则少了 $4$元．问学生人数和该书单价各是多少？

如图，已知 $\angle AOC＝\angle BOC$，点 $P$在 $OC$上， $PD\perp OA，PE\perp OB$，垂足分别为 $D，E$．求证： $△OPD≌△OPE$．

先化简，再求值： $a+\frac{{\mathrm{a}}^2-1}{\mathrm{a}-1}$，其中 $a＝5$．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}-2\mathrm{＞}1\\ \mathrm{x}+1\mathrm{＜}3\end{array}\right.$．

（1）发现：如图①所示，在正方形 $ABCD$中， $E$为AD边上一点，将 $△AEB$沿 $BE$翻折到 $△BEF$处，延长 $EF$交 $CD$边于 $G$点．求证： $△BFG≌△BCG$；

（2）探究：如图②，在矩形 $ABCD$中， $E$为 $AD$边上一点，且 $AD＝8，AB＝6$．将 $△AEB$沿 $BE$翻折到 $△BEF$处，延长 $EF$交 $BC$边于 $G$点，延长 $BF$交 $CD$边于点 $H$，且 $FH＝CH$，求 $AE$的长．

（3）拓展：如图③，在菱形 $ABCD$中， $AB＝6$， $E$为 $CD$边上的三等分点， $\angle D＝60°$．将 $△ADE$沿 $AE$翻折得到 $△AFE$，直线 $EF$交 $BC$于点 $P$，求 $PC$的长．

一个玻璃球体近似半圆 $O，AB$为直径．半圆 $O$上点 $C$处有个吊灯 $EF$， $EF\parallel AB，CO\perp AB$， $EF$的中点为 $D$， $OA＝4$．

（1）如图①， $CM$为一条拉线， $M$在 $OB$上， $OM＝1.6$， $DF＝0.8$，求 $CD$的长度．

（2）如图②，一个玻璃镜与圆 $O$相切， $H$为切点， $M$为 $OB$上一点， $MH$为入射光线， $NH$为反射光线， $\angle OHM＝\angle OHN＝45°$， $\tan \angle COH=\frac{3}{4}$，求 $ON$的长度．

（3）如图③， $M$是线段 $OB$上的动点， $MH$为入射光线， $\angle HOM＝50°$，HN为反射光线交圆 $O$于点N，在 $M$从 $O$运动到 $B$的过程中，求 $N$点的运动路径长．

二次函数 $y＝2x^2$，先向上平移 $6$个单位，再向右平移 $3$个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．

$y＝2x^2$	$y＝2（x﹣3{）}^2+6$
$（0，0）$	$（3，m）$
$（1，2）$	$（4，8）$
$（2，8）$	$（5，14）$
$（﹣1，2）$	$（2，8）$
$（﹣2，8）$	$（1，14）$

（1） $m$的值为＿＿＿＿＿＿；

（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+5$与 $y=\frac{1}{2}{x}^2$的交点坐标；

（3）点 $P（x_1，y_1），Q（x_2，y_2）$在新的函数图象上，且 $P，Q$两点均在对称轴同一侧，若 $y_1＞y_2$，则 $x_1$＿＿＿＿＿＿ $x_2$．（填不等号）

某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜 $1$元，且用 $110元$购买的甲种类型的数量与用 $120$元购买的乙种类型的数量一样．

（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．

（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共 $100$件，且购买的乙的数量不超过甲的 $3$倍，则购买的最低费用是多少．

某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．

（1）本次抽查总人数为＿＿＿＿＿＿，“合格”人数的百分比为＿＿＿＿＿＿；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为＿＿＿＿＿＿；

（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为＿＿＿＿＿＿．

化简求值： $（\frac{2\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}}-1）$ $÷\frac{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}}$，其中 $x＝4$．

$（\pi ﹣1）0-\sqrt{9}+\sqrt{2}\cos 45°+$ $（\frac{1}{5}{）}^{﹣1}$．

综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 $ABCD$中，E是BC的中点， $AE\perp EP$， $EP$与正方形的外角 $\angle DCG$的平分线交于 $P$点．试猜想 $AE$与 $EP$的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取 $AB$的中点 $F$，连接 $EF$可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 $ABCD$中， $E$为 $BC$边上一动点（点 $E，B$不重合）， $△AEP$是等腰直角三角形， $\angle AEP＝90°$，连接 $CP$，可以求出 $\angle DCP$的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $ABCD$中， $E$为 $BC$边上一动点（点 $E，B$不重合）， $△AEP$是等腰直角三角形， $\angle AEP＝90°$，连接 $DP$．知道正方形的边长时，可以求出 $△ADP$周长的最小值．当 $AB＝4$时，请你求出 $△ADP$周长的最小值．