二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，

二次函数 $y ＝ 2 x^{2}$ ，先向上平移 $6$ 个单位，再向右平移 $3$ 个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．

（1） $m$ 的值为＿＿＿＿＿＿；

（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 5$ 与 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的交点坐标；

（3）点 $P （ x_{1} ， y_{1} ）， Q （ x_{2} ， y_{2} ）$ 在新的函数图象上，且 $P ， Q$ 两点均在对称轴同一侧，若 $y_{1} ＞ y_{2}$ ，则 $x_{1}$ ＿＿＿＿＿＿ $x_{2}$ ．（填不等号）

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如图， $AB / / CD$ ， $AB = CD$ ， $CE = BF$ ．请写出 $DF$ 与 $AE$ 的数量关系，并证明你的结论．

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如图，抛物线 $y = a (x - 1) (x - 3) (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，抛物线上另有一点 $C$ 在 $x$ 轴下方，且使 $ΔOCA ∽ ΔOBC$ ．

（1）求线段 $OC$ 的长度；

（2）设直线 $BC$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，点 $C$ 是 $BM$ 的中点时，求直线 $BM$ 和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线 $BC$ 下方抛物线上是否存在一点 $P$ ，使得四边形 $ABPC$ 面积最大？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在 $ΔABC$ 中，点 $O$ 在线段 $BC$ 上， $∠ BAO = 30 °$ ， $∠ OAC = 75 °$ ， $AO = 3 \sqrt{3}$ ， $BO : CO = 1 : 3$ ，求 $AB$ 的长．

经过社团成员讨论发现，过点 $B$ 作 $BD / / AC$ ，交 $AO$ 的延长线于点 $D$ ，通过构造 $ΔABD$ 就可以解决问题（如图 $2)$ ．

请回答： $∠ ADB =$ 　　 $°$ ， $AB =$ 　　．

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ， $AC ⊥ AD$ ， $AO = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ ABC = ∠ ACB = 75 °$ ， $BO : OD = 1 : 3$ ，求 $DC$ 的长．

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关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} - 5 x \sin A + 2 = 0$ 有两个相等的实数根，其中 $∠ A$ 是锐角三角形 $ABC$ 的一个内角．

（1）求 $\sin A$ 的值；

（2）若关于 $y$ 的方程 $y^{2} - 10 y + k^{2} - 4 k + 29 = 0$ 的两个根恰好是 $ΔABC$ 的两边长，求 $ΔABC$ 的周长．

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如图， $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线，点 $C$ 在直径 $AB$ 的延长线上．

（1）求证： $∠ CAD = ∠ BDC$ ；

（2）若 $BD = \frac{2}{3} AD$ ， $AC = 3$ ，求 $CD$ 的长．

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