初中数学解答题

计算： $\left|-\sqrt{3}\right|$ $-(\frac{1}{3}{)}^{-\frac{1}{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}-1}-12^{\frac{1}{2}}$．

已知：点 $C，D$均在直线 $l$的上方， $AC$与 $BD$都是直线 $l$的垂线段，且 $BD$在 $AC$的右侧， $BD＝2AC$， $AD$与 $BC$相交于点 $O$．

（1）如图1，若连接 $CD$，则 $△BCD$的形状为 　 　， $\frac{\mathit{AO}}{\mathit{AD}}$的值为 　 　；

（2）若将 $BD$沿直线 $l$平移，并以 $AD$为一边在直线 $l$的上方作等边 $△ADE$．

①如图2，当 $AE$与 $AC$重合时，连接 $OE$，若 $AC=\frac{3}{2}$，求 $OE$的长；

②如图3，当 $\angle ACB＝60°$时，连接 $EC$并延长交直线 $l$于点 $F$，连接 $OF$．求证： $OF\perp AB$．

如图，已知抛物线 $y＝﹣x^2+bx+c$经过 $A（0,3）$和 $B（\frac{7}{2},-\frac{9}{4}）$两点，直线 $AB$与 $x$轴相交于点 $C$， $P$是直线 $AB$上方的抛物线上的一个动点， $PD\perp x$轴交 $AB$于点 $D$．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若 $PE\parallel x$轴交 $AB$于点 $E$，求 $PD+PE$的最大值；

（3）若以 $A，P，D$为顶点的三角形与 $△AOC$相似，请直接写出所有满足条件的点 $P$，点 $D$的坐标．

如图，在 $△ABC$中， $\angle ACB＝90°$，点 $D$是 $AB$边的中点，点 $O$在 $AC$边上， $\odot O$经过点 $C$且与 $AB$边相切于点 $E$， $\angle FAC=\frac{1}{2}\angle BDC$．

（1）求证： $AF$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $BC＝6$， $\sin B=\frac{4}{5}$，求 $\odot O$的半径及 $OD$的长．

为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少 $23$元，且 $84$元购买绳子的数量与 $360$元购买实心球的数量相同．

（1）绳子和实心球的单价各是多少元？

（2）如果本次购买的总费用为 $510$元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有 　 　人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是 　 　；

（4）若该校有 $2700$名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．

如图，直线 $AB$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}（k＞0，x＞0）$的图象相交于点 $A$和点 $C（3,2）$，与 $x$轴的正半轴相交于点 $B$．

（1）求 $k$的值；

（2）连接 $OA，OC$，若点 $C$为线段 $AB$的中点，求 $△AOC$的面积．

综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点 $B，D$，连接 $AD，AB，BC，CD$，如果 $\angle B＝\angle D$，那么 $A，B，C，D$四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点 $A，C，D$的 $\odot O$，在劣弧 $AC$上取一点 $E$（不与 $A，C$重合），连接 $AE，CE$，则 $\angle AEC+\angle D＝180°$（依据1）

∵ $\angle B＝\angle D$

∴ $\angle AEC+\angle B＝180°$

∴点 $A，B，C，E$四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

∴点 $B，D$在点 $A，C，E$所确定的 $\odot O$上（依据2）

∴点 $A，B，C，D$四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；依据2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

（2）如图3，在四边形 $ABCD$中， $\angle 1＝\angle 2，\angle 3＝45°$，则 $\angle 4$的度数为＿＿＿＿＿．

拓展探究：

（3）如图4，已知 $△ABC$是等腰三角形， $AB＝AC$，点 $D$在 $BC$上（不与 $BC$的中点重合），连接 $AD$．作点 $C$关于 $AD$的对称点 $E$，连接 $EB$并延长交 $AD$的延长线于 $F$，连接 $AE，DE$．

①求证： $A，D，B，E$四点共圆；

②若 $AB＝2\sqrt{2}$， $AD•AF$的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

新定义：我们把抛物线 $y＝a{x}^2+bx+c$（其中 $ab\ne 0$）与抛物线 $y＝b{x}^2+ax+c$称为“关联抛物线”．例如：抛物线 $y＝2x^2+3x+1$的“关联抛物线”为： $y＝3x^2+2x+1$．已知抛物线 $C_1：y＝4a{x}^2+ax+4a﹣3（a\ne 0）$的“关联抛物线”为 $C_2$．

（1）写出 $C_2$的解析式（用含 $a$的式子表示）及顶点坐标；

（2）若 $a＞0$，过 $x$轴上一点 $P$，作 $x$轴的垂线分别交抛物线 $C_1$， $C_2$于点 $M，N$．

①当 $MN＝6a$时，求点 $P$的坐标；

②当 $a﹣4\le x\le a﹣2$时， $C_2$的最大值与最小值的差为 $2a$，求 $a$的值．

遵义市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高 $20\%$，用 $30000$元购买A型设备的数量比用 $15000$元购买B型设备的数量多 $4$台．

（1）求A，B型设备单价分别是多少元；

（2）该校计划购买两种设备共 $50$台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的 $\frac{1}{3}$．设购买a台A型设备，购买总费用为 $w$元，求 $w$与 $a$的函数关系式，并求出最少购买费用．

如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2， $AB$是灯杆， $CD$是灯管支架，灯管支架 $CD$与灯杆间的夹角 $\angle BDC＝60°$．综合实践小组的同学想知道灯管支架 $CD$的长度，他们在地面的点 $E$处测得灯管支架底部 $D$的仰角为 $60°$，在点 $F$处测得灯管支架顶部 $C$的仰角为 $30°$，测得 $AE＝3m，EF＝8m$（ $A，E，F$在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：

（1）求灯管支架底部距地面高度 $AD$的长（结果保留根号）；

（2）求灯管支架 $CD$的长度（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73$）．

将正方形 $ABCD$和菱形 $EFGH$按照如图所示摆放，顶点 $D$与顶点 $H$重合，菱形 $EFGH$的对角线 $HF$经过点 $B$，点 $E，G$分别在 $AB，BC$上．

（1）求证： $△ADE≌△CDG$；

（2）若 $AE＝BE＝2$，求 $BF$的长．

如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是 $﹣6，﹣1，8$，转盘乙上的数字分别是 $﹣4，5，7$（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．

（1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是＿＿＿＿＿；转盘乙指针指向正数的概率是＿＿＿＿＿．

（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为 $a$，转盘乙指针所指的数字记为 $b$，请用列表法或树状图法求满足 $a+b＜0$的概率．

（1）计算： $（\frac{1}{2}{）}^{﹣1}﹣2\tan 45°+$ $\left|1-\sqrt{2}\right|$；

（2）先化简 $\left(\frac{\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2-4}+\frac{1}{2-\mathrm{a}}\right)$ $÷\frac{2\mathrm{a}+4}{{\mathrm{a}}^2+4\mathrm{a}+4}$，再求值，其中 $a=\sqrt{3}+2$．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝x^2﹣bx$（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．

（1）求该抛物线对应的函数表达式；

（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；

（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；

（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为 $\frac{3}{4}$时，直接写出m的值．