初中数学解答题

如图，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{AC}=\mathit{BC}=2\sqrt{5}$，边长为2的正方形 $\mathit{DEFC}$的对角线交点与点 $C$重合，连接 $\mathit{AD},\mathit{BE}$.

（1）求证: $△\mathit{ACD}\cong △\mathit{BCE}$；

（2）当点 $D$在 $△\mathit{ABC}$内部，且 $\angle \mathit{ADC}={90}^{\circ }$吋，设 $\mathit{AC}$与 $\mathit{DG}$相交于点 $M$，求 $\mathit{AM}$的长；

（3）将正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $C$旋转一周，当点 $A,D,E$三点在同一直线上时，请直接写出 $\mathit{AD}$的长.

如图， $P$为等边三角形 $\mathit{ABC}$内一点， $\mathit{PA}=3,\mathit{PB}=4,\mathit{PC}=5$，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E,F$分别是边 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上的点， $\angle \mathit{EAF}={45}^{\circ },△\mathit{ECF}$的周长为 $8$，求正方形 $\mathit{ABCD}$的面积.

如图， 在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=4$， 点 $M$ 在 $\mathit{CD}$ 边上， 且 $DM=1\mathrm{}$， $△AEM$与 $△\mathit{ADM}$关于 $\mathit{AM}$所在直线对称，将 $△\mathit{ADM}$按顺时针方向绕点 $A$旋转 ${90}^{\circ }$得到 $△\mathit{ABF}$，连接 $\mathit{EF}$，求线段 $\mathit{EF}$的长.

已知两个不相等的实数 $a\mathrm{，}b$ 满足 $a\mathrm{（}a-2\mathrm{）}=2\mathrm{，}b\mathrm{（}b-2\mathrm{）}=2$，且 $5m=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$.

（1）求 $m$的值；

（2）已知自变量为 $x$的函数 $y=x^2+\mathit{mx}+n$交 $x$轴交于不同的两点 $A,B$，函数图象的顶点为 $C$，若 $△\mathit{ABC}$是等边三角形，求 $n$的值；

（3）已知自变量为 $x$的函数 $y=m{x}^2-\mathit{tx}-m$，当 $-1⩽x⩽1$时，总有 $y⩽3$成立，求 $t$的取值范围.

如图， 已知直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 与拋物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+6$ 交于 $A\mathrm{，}B$两点.

（1）求 $A,B$两点的坐标；

（2）求线段 $\mathit{AB}$的垂直平分线的解析式；

（3）取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上移动，动点 $P$将与 $A,B$构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点 $P$的坐标；如果不存在，请简要说明理由.

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象开口向上，且经过点 $A\left(0,\frac{3}{2}\right),B\left(2,-\frac{1}{2}\right)$.

（1）求 $b$的值（用含 $a$的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$在 $1⩽x⩽3$时， $y$的最大值为1，求 $a$的值；

（3）将线段 $\mathit{AB}$向右平移 $2$个单位得到线段 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$.若线段 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c+4a-1$仅有一个交点，求 $a$的取值范围.

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c\left(a\ne 0\right)$与 $x$轴交于 $A,B$两点，与 $y$轴交于 $C$点， $\mathit{AC}=\sqrt{10},\mathit{OB}=\mathit{OC}=3\mathit{OA}$.

（1）求拋物线的解析式；

（2）在第二象限内的拋物线上确定一点 $P$，使四边形 $\mathit{PBAC}$的面积最大，求出点 $P$的坐标；

（3）在（2）的结论下，点 $M$为 $x$轴上一动点，抛物线上是否存在一点 $Q$，使点 $P,B,M,Q$为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由.

在某服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为 $20$元，并且每周（ $7$天）涨价 $2$元，从第 $6$周开始保持 $30$元的价格平稳销售；从第 $12$周开始，当季节即将过去时，平均每周减价 $2$元，直到第 $16$周周末，该服装不再销售.

（1）试建立销售价 $y$与周次 $x$之间的函数关系式；

（2）若这种时装每件进价 $Z$与周次 $x$之间的关系为 $Z=-0.125{(x-8)}^2+12,1⩽x⩽16$，且 $x$为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大，最大利润为多少?

已知二次函数 $y=x^2+bx-c$的图象经过两点 $P（1，a），Q（2，10a）$.

（1）如果 $a,b,c$都是整数，且 $c<b<8a$，求 $a,b,c$的值；

（2）设二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}-c$的图象与 $x$轴的交点为 $A,B$，与 $y$轴的交点为 $C$.如果关于 $x$的方程 $x^2+\mathit{bx}-c=0$的两个根都是整数，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

若方程 $\left|x^2+2x-1\right|=b$有四个互不相等的根，求 $b$的取值范围.

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话:

甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费 $3000$元，那么 $50$辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加 $50$元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 $200$元.

乙公司经理:我公司每辆汽车月租费 $3500$元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计 $1850$元.

说明:①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题:

（1）当每个公司租出的汽车为 $10$辆时，甲公司的月利润是＿＿＿＿元；当每个公司租出的汽车为＿＿＿＿辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出 $1$辆汽车捐出 $a$元 $(a>0)$给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为 $17$辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$的取值范围.

在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 $A,B$两种农作物为原料开发了一种有机产品. $A$原料的单价是 $B$原料单价的 $1.5$倍，若用 $900$元收购 $A$原料会比用900元收购 $B$原料少 $100\text{kg}$.生产该产品每盒需要 $A$原料 $2\text{kg}$和 $B$原料 $4\text{kg}$，每盒还需其他成本 $9$元.市场调查发现:该产品每盒的售价是 $60$元时，每天可以销售 $500$盒；每涨价 $1$元，每天少销售 $10$盒.

（1）求每盒产品的成本（成本 $=$原料费 $+$其他成本 $)$；

（2）设每盒产品的售价是 $x$元（ $x$是整数），每天的利润是 $w$元，求 $w$关于 $x$的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过 $a$元（ $a$是大于 $60$的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润.

红星公司销售一种成本为 $40$元/件的产品，若月销售单价不高于 $50$元 $/$件，一个月可售出 $5$万件；月销售单价每涨价 $1$元，月销售量就减少 $0.1$万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为 $x$（单位:元/件），月销售量为 $y$（单位:万件）.

（1）直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元?

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于 $70$元/件，月销售最大利润是 $78$万元，求 $a$的值.

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度（单位: $\mathrm{}\text{km}/\text{h}$）是车流密度（单位:辆 $/\text{km})$的函数.当桥上的车流密度达到 $200$辆 $/\text{km}$时，造成堵塞，此时车流速度为 $0$；当车流密度不超过 $20$辆 $/\text{km}$时，车流速度为 $60\text{km}/\text{h}$，研究表明:当 $0⩽x⩽200$时，车流速度是车流密度的一次函数.

（1）当 $0⩽x⩽200$时，求 $v$与 $x$之间的函数解析式 $v\left(x\right)$；

（2）当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位:辆 $/\text{h})f\left(x\right)=x\cdot v\left(x\right)$可以达到最大，并求出最大值（精确到辆 $/\text{h})$.