初中数学解答题

我区某镇地理位置偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售.我区政府对该花木产品每投资 $x$万元，所获利润为 $P=-\frac{1}{50}{(x-30)}^2+10$万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多 $50$万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出 $25$万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资 $x$万元可获利润 $Q=-\frac{49}{50}{(50-x)}^2+\frac{194}{5}\left(50-x\right)+308$万元.

（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?

（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?

（3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.

超市购进某种苹果，如果进价增加 $2$元 $/\text{kg}$要用300元；如果进价减少2元 $/\text{kg}$，同样数量的苹果只用 $200$元.

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过 $100\text{kg}$，就按原价购进；如果购进苹果超过 $100\text{kg}$，超过部分购进价格减少 $2$元 $/\text{kg}$，写出购进苹果的支出 $y($元 $)$与购进数量 $x\left(\text{kg}\right)$之间的函数关系式；

（3）超市一天购进苹果数量不超过 $300\text{kg}$，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价 $z($元 $/\text{kg})$与一天销售数量 $x\left(\text{kg}\right)$的关系为 $z=-\frac{1}{100}x+12$.在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润 $w$（元）最大，求一天购进的苹果数量.（利润=销售收入-购进支出）

我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一轾，即三角形的三边长分别为 $a,b,c$，记 $p=\frac{a+b+c}{2}$，则其面积 $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.这个公式也被称为海伦秦九韶公式.若 $p=5,c=4$，求此三角形面积的最大值.

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $\left(0,4\right),\left(2,-2\right)$两点，当抛物线在轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线的解析式.

已知 $x,y,z$均为非负数且满足 $x=y+z-1=4-y-2x$.

（1）用 $x$表示 $y,z$；

（2）求 $u=2x^2-2y+z$的最小值.

已知函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{13}{2}$，当 $a⩽x⩽b$时， $y$的最小值为 $2a$，最大值为 $2b$，求 $a,b$的值.

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象的一部分如图所示，试确定 $a$的取值范围.

已知二次函数 $y=x^2-x-2$及实数 $a>-2$.求:

（1）函数在 $-2<x⩽a$的最小值；

（2）函数在 $a⩽x⩽a+2$的最小值.

已知抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $\left(0,-2\right)$，当 $x<-4$时， $y$随 $x$的增大而增大，当 $x>-4$时， $y$随 $x$的增大而减小.设 $r$是抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m=\frac{r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1}{r^9+60r^5-1}$.

（1）求 $b,c$的值；

（2）求证: $\mathrm{}{r}^4-2r^2+1=60r^2$；

（3）以下结论: $m<1,m=1,m>1$，你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.

在平面直角坐标系 $\mathit{xoy}$中，抛物线 $y=m{x}^2-2\mathit{mx}-3\left(m\ne 0\right)$与 $x$轴交于 $A\left(3,0\right),B$两点.

（1）求抛物线的解析式及点 $B$的坐标；

（2）当 $-2<x<3$时的函数图象记为 $G$，求此时函数 $y$的取值范围；

（3）在（2）的条件下，将图象 $G$在 $x$轴上方的部分沿 $x$轴翻折，图象 $G$的其余部分保持不变，得到一个新图象 $M$.若经过 $C\left(4,2\right)$点的直线 $y=\mathit{kx}+b\left(k\ne 0\right)$与图象 $M$在第三象限内有两个公共点，结合图象，求 $b$的取值范围.

已知 $\Delta ABC$的两边 $\mathit{AB},\mathit{AC}$的长是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$的两个实数根，第三边 $\mathit{BC}=5$.

（1） $k$为何值时， $\Delta ABC$是以 $\mathit{BC}$为斜边的直角三角形?

（2） $k$为何值时， $\Delta ABC$是等腰三角形?并求此时 $\Delta ABC$的周长.

如图，在 $\Delta ABC$中， $\angle \mathit{ABC}=30°,\mathit{AB}=p,\mathit{BC}=q$，且 $p,q$是关于 $x$的方程 $x^2-\mathit{mx}+3m=0$的两个实数根，若 $|p+2q|=\frac{1}{3}\mathit{pq}+6$，试在 $\mathit{\Delta ABC}$内找一点 $P$，使点 $P$到 $A,B,C$三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由.

如图①. $\Delta ABC,\Delta AED$都是等腰直角三角形， $\angle \mathit{ABC}=\angle E=90°,$ $\mathit{AE}=a$. $A=b$，且 $a<b$，点 $D$在 $\mathit{AC}$上，连接 $\mathit{BD},\mathit{BD}=c$.

（1）如果 $c=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.

①求 $\frac{a}{b}$的值；②若 $a,b$是关于 $x$的方程 $x^2-\mathit{mx}+\frac{1}{25}{m}^2-\frac{2}{5}m+\frac{3}{5}=0$的两实数根，求 $m$的值；

（2）如图②，将 $\Delta ADE$绕点 $A$逆时针旋特，使 $\mathit{BE}=100$，连接 $\mathit{DC}$.求五边形 $\mathit{ABCDE}$的面积.

重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）.已知 $3$份“堂食”小面和 $2$份“生食”小面的总售价为 $31$元， $4$份“堂食”小面和 $1$份“生食”小面的总售价为 $33$元.

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元?

（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面 $4500$份，“生食”小面 $2500$份.为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 $\frac{3}{4}a\%$.统计5月的销量和销售额发现:“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加了 $\frac{5}{2}a\%$，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加了 $\frac{5}{11}a\%$.求 $a$的值.

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AB},\mathit{CD}$交于点 $O,S_{\mathit{AOB}}=4,S_{\mathit{COD}}=9$，求四边形 $\mathit{ABCD}$面积的最小值.