初中数学解答题

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是弧 $\mathit{AB}$的中点，延长 $\mathit{AC}$至 $D$，使 $\mathit{CD}=\mathit{AC}$，连接 $\mathit{DB}.E$是 $\mathit{OB}$的中点， $\mathit{CE}$的延长线交 $\mathit{DB}$的延长线于点 $F,\mathit{AF}$交 $\odot O$于点 $H$，连接 $\mathit{BH}$.

（1）求证: $\mathit{BD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BF}=1$，求 $\mathit{BH}$的长.

如图所示， $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过点 $B$作 $△\mathit{ABC}$的外接圆的切线交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，求证: $\mathit{CD}=2\mathit{BE}$.

如图所示，已知 $△\mathit{ABC}$，以 $\mathit{BC}$为直径的圆交 $\mathit{AB},\mathit{AC}$于点 $D,E$，连接 $\mathit{OE},\mathit{OD},△\mathit{ADE}$的外接圆是 $G$，求证: $\mathit{OD},\mathit{OE}$都是 $\odot G$的切线.

等腰直角 $△\mathit{ABC}$和 $\odot O$如图放置，已知 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1,\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ },\odot O$的半径为 $1$，圆心 $O$与直线 $\mathit{AB}$的距离为5，现 $△\mathit{ABC}$以每秒2个单位的速度向右移动，同时 $△\mathit{ABC}$的边长 $\mathit{AB},\mathit{BC}$又以每秒 $0.5$个单位沿 $\mathit{BA},\mathit{BC}$方向增大.

（1）当 $△\mathit{ABC}$的边（ $\mathit{BC}$边除外）与圆第一次相切时，点 $B$移动了多少距离?

（2）若 $△\mathit{ABC}$在移动的同时， $\odot O$也以每秒 $1$个单位的速度向右移动，则 $△\mathit{ABC}$从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间?

（3）在（2）条件下，是否存在某一时刻， $△\mathit{ABC}$与 $\odot O$的公共部分等于 $\odot O$的面积?若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间?若不存在，请说明理由.

如图， $A,B$是 $\odot O$上两点，且 $\mathit{AB}=\mathit{OA}$，连接 $\mathit{OB}$并延长到点 $C$，使 $\mathit{BC}=\mathit{OB}$，连接 $\mathit{AC}$.

（1）求证: $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）点 $D,E$分别是 $\mathit{AC},\mathit{OA}$的中点， $\mathit{DE}$所在直线交 $\odot O$于点 $F,G,\mathit{OA}=4$，求 $\mathit{GF}$的长.

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$为对角线 $\mathit{BD}$上一点，且满足 $\angle \mathit{ECD}=\angle \mathit{ACB},\mathit{AC}$的延长线与 $△\mathit{ABD}$的外接圆交于点 $F$，证明: $\angle \mathit{DFE}=\angle \mathit{AFB}$.

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $C$为 $\odot O$上异于 $A,B$的一动点，弦 $\mathit{AD}=5\sqrt{3},\angle \mathit{ACD}={60}^{\circ },\mathit{CA}$， $\mathit{CB}$是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-\mathit{mx}+n=0$的两根，求 $m$的最大值.

如图， $H$为 $△\mathit{ABC}$的垂心， $\odot O$为 $△\mathit{ABC}$的外接圆.点 $E,F$为以 $C$为圆心， $\mathit{CH}$长为半径的圆与 $\odot O$的交点， $D$为线段 $\mathit{EF}$的垂直平分线与 $\odot O$的交点.

求证：（1） $\mathit{AC}$垂直平分线段 $\mathit{HE}$；

（2） $\mathit{DE}=\mathit{AB}$.

如图，已知在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}>\mathit{AC},\angle \mathit{BAC}={45}^{\circ },E$是 $\angle \mathit{BAC}$的外角平分线与 $△\mathit{ABC}$的外接圆的交点，点 $F$在 $\mathit{AB}$上且 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$，已知 $\mathit{AF}=1,\mathit{BF}=5$，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

如图，已知在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}>\mathit{AC},\angle A$的外角平分线交 $△\mathit{ABC}$的外接圆于点 $E$，过 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $F$，求证: $\mathit{AB}-\mathit{AC}=2\mathit{AF}$.

如图，点 $I$是 $△\mathit{ABC}$的内心， $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$，过点 $I$作一圆与边 $\mathit{AB}$相切于点 $B$，与直线 $\mathit{AC}$交于点 $D$和点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，若 $\angle \mathit{ABC}={80}^{\circ },\angle \mathit{EBC}={30}^{\circ },\stackrel{⏜}{\mathit{BI}}=2\stackrel{⏜}{\mathit{DI}}$，求 $\angle \mathit{DIC}$的大小.

已知 $△\mathit{ABC}$内接于 $\odot O,\mathit{AB}=\mathit{AC},\angle \mathit{BAC}={42}^{\circ }$，点 $D$是 $\odot O$上一点.

（1）如图①，若 $\mathit{BD}$为 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{CD}$，求 $\angle \mathit{DBC}$和 $\angle \mathit{ACD}$的大小；

（2）如图②，若 $\mathit{CD}//\mathit{BA}$，连接 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\odot O$的切线，与 $\mathit{OC}$的延长线交于点 $E$，求 $\angle E$的大小.

如图， 已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为 $1\mathrm{，}P\mathrm{，}Q$ 是其内两点， 且 $\angle \mathit{PAQ}=\angle \mathit{PCQ}={45}^{\circ }$.求 $S_{△\mathit{PAB}}+S_{△\mathit{PCQ}}+S_{△\mathit{QAD}}$的值.

如图所示，在 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC},\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },D,E$是边 $\mathit{AB}$上的两点， $\mathit{AD}=3,\mathit{BE}=4,\angle \mathit{DCE}={45}^{\circ }$.则 $△\mathit{ABC}$的面积是多少?

已知在 $△\mathit{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AB}=\mathit{BC}$， 四边形 $\mathit{CDEF}$ 是正方形，连接 $\mathit{AE},G$是 $\mathit{AE}$的中点.

（1）如图①，当 $B,C,D$在一条直线上时，试判断 $\mathit{BG}$与 $\mathit{GD}$的位置关系，并求 $\frac{\mathit{BG}}{\mathit{GD}}$的值；

（2）如图②，当 $△\mathit{ABC}$绕点 $C$旋转后，（1）中结论是否仍然成立?试说明理由.