等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知ABBC1,∠ABC90

更新 2023-04-28
科目数学
题型解答题
难度中等
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等腰直角 $△ ABC$ 和 $⊙ O$ 如图放置，已知 $AB = BC = 1, ∠ ABC = 90^{\circ}, ⊙ O$ 的半径为 $1$ ，圆心 $O$ 与直线 $AB$ 的距离为5，现 $△ ABC$ 以每秒2个单位的速度向右移动，同时 $△ ABC$ 的边长 $AB, BC$ 又以每秒 $0.5$ 个单位沿 $BA, BC$ 方向增大.

（1）当 $△ ABC$ 的边（ $BC$ 边除外）与圆第一次相切时，点 $B$ 移动了多少距离?

（2）若 $△ ABC$ 在移动的同时， $⊙ O$ 也以每秒 $1$ 个单位的速度向右移动，则 $△ ABC$ 从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间?

（3）在（2）条件下，是否存在某一时刻， $△ ABC$ 与 $⊙ O$ 的公共部分等于 $⊙ O$ 的面积?若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间?若不存在，请说明理由.

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在△ABC中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得 $C E ＝ D C$ ．

（1）如图1，延长BC到点F，使得 $C F ＝ B C$ ，连接AF，EF．若 $A F ⊥ E F$ ，求证： $B D ⊥ A F$ ；

（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若 $A B^{2} ＝ A E^{2} + B D^{2}$ ，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．

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难度：未知

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $（ 1 ， m ），（ 3 ， n ）$ 在抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + c （ a ＞ 0 ）$ 上，设抛物线的对称轴为直线 $x ＝ t$ ．

（1）当 $c ＝ 2 ， m ＝ n$ 时，求抛物线与 $y$ 轴交点的坐标及 $t$ 的值；

（2）点 $（ x_{0} ， m ）（ x_{0} \neq 1 ）$ 在抛物线上．若 $m ＜ n ＜ c$ ，求 $t$ 的取值范围及 $x_{0}$ 的取值范围．

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单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与水平距离 $x$ （单位： $m$ ）近似满足函数关系 $y ＝ a （ x ﹣ h ）^{2} + k （ a ＜ 0 ）$ ．

某运动员进行了两次训练．

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下：

水平距离 $x / m$	$0$	$2$	$5$	$8$	$11$	$14$
竖直高度 $y / m$	$20.00$	$21.40$	$22.75$	$23.20$	$22.75$	$21.40$

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y ＝ a （ x ﹣ h ）^{2} + k （ a ＜ 0 ）$ ；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 近似满足函数关系 $y ＝ ﹣ 0.04 （ x ﹣ 9 ）^{2} + 23.24$ ．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为 $d_{1}$ ，第二次训练的着陆点的水平距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1}$ ＿＿＿＿＿ $d_{2}$ （填“＞”“＝”或“＜”）．

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难度：未知

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如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦， $A B ⊥ C D$ ，连接AC，OD．

（1）求证： $∠ B O D ＝ 2 ∠ A$ ；

（2）连接DB，过点C作 $C E ⊥ D B$ ，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．

题型：未知
难度：未知

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某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．甲、乙两位同学得分的折线图：

b．丙同学得分：

$10 ， 10 ， 10 ， 9 ， 9 ， 8 ， 3 ， 9 ， 8 ， 10$

c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：

同学	甲	乙	丙
平均数	$8.6$	$8.6$	$m$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）求表中 $m$ 的值；

（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对＿＿＿＿＿的评价更一致（填“甲”或“乙”）；

（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是＿＿＿＿＿（填“甲”“乙”或“丙”）．

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