等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知ABBC1,∠ABC90

更新 2023-04-28
科目数学
题型解答题
难度中等
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等腰直角 $△ ABC$ 和 $⊙ O$ 如图放置，已知 $AB = BC = 1, ∠ ABC = 90^{\circ}, ⊙ O$ 的半径为 $1$ ，圆心 $O$ 与直线 $AB$ 的距离为5，现 $△ ABC$ 以每秒2个单位的速度向右移动，同时 $△ ABC$ 的边长 $AB, BC$ 又以每秒 $0.5$ 个单位沿 $BA, BC$ 方向增大.

（1）当 $△ ABC$ 的边（ $BC$ 边除外）与圆第一次相切时，点 $B$ 移动了多少距离?

（2）若 $△ ABC$ 在移动的同时， $⊙ O$ 也以每秒 $1$ 个单位的速度向右移动，则 $△ ABC$ 从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间?

（3）在（2）条件下，是否存在某一时刻， $△ ABC$ 与 $⊙ O$ 的公共部分等于 $⊙ O$ 的面积?若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间?若不存在，请说明理由.

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2017年5月教育部统一组织了国家义务教育阶段质量监测考试．四川省部分小学四年级学生参加了科学测试，测试成绩评定为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级，为了解此次科学测试成绩情况，相关部门从四川省农村、县镇、城市三类群体的学生中共抽取2000名学生的科学测试成绩进行分析，相关数据如表和图所示．

等级人数类别	$A$	$B$	$C$	$D$
农村	$a$	160	180	80
县镇	200	182	160	$b$
城市	240	$c$	122	48

（注：等级 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 分别代表优秀、良好、合格、不合格）

（1）请算出表中的 $a$ ， $b$ ， $c$ （直接填数据，不写解答过程）；

（2）此次抽取的2000名学生的科学测试成绩为 $A$ 等级的百分率是多少？

（3）若此次在四川省抽查的所有四年级学生中农村学生共有16000人，试估计抽查的农村学生科学测试成绩为 $D$ 等级的大约有多少人？

题型：未知
难度：未知

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在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系 $xOy$ ， $ΔABC$ 的顶点都在格点上，请解答下列问题：

（1）将 $ΔABC$ 向下平移5个单位长度，画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）若点 $M$ 是 $ΔABC$ 内一点，其坐标为 $(a, b)$ ，点 $M$ 在△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的对应点为 $M_{1}$ ，则点 $M_{1}$ 的坐标为　　；

（3）画出 $ΔABC$ 关于点 $O$ 的中心对称图形△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

题型：未知
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如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴上， $AB$ 、 $BC$ 的长分别是一元二次方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两个根 $(BC > AB)$ ， $OA = 2 OB$ ，边 $CD$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，动点 $P$ 以每秒1个单位长度的速度，从点 $E$ 出发沿折线段 $ED - DA$ 向点 $A$ 运动，运动的时间为 $t (0 ⩽ t < 6)$ 秒，设 $ΔBOP$ 与矩形 $AOED$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

（1）求点 $D$ 的坐标；

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$ 的运动过程中，是否存在点 $P$ ，使 $ΔBEP$ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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难度：未知

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为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．

（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？

（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具 $x$ 个，求有多少种购买方案？

（3）设学校投入资金 $W$ 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ， $BE ⊥ AC$ 于点 $E$ ， $AD$ 与 $BE$ 交于点 $F$ ， $BH ⊥ AB$ 于点 $B$ ，点 $M$ 是 $BC$ 的中点，连接 $FM$ 并延长交 $BH$ 于点 $H$ ．

（1）如图①所示，若 $∠ ABC = 30 °$ ，求证： $DF + BH = \frac{\sqrt{3}}{3} BD$ ；

（2）如图②所示，若 $∠ ABC = 45 °$ ，如图③所示，若 $∠ ABC = 60 °$ （点 $M$ 与点 $D$ 重合），猜想线段 $DF$ 、 $BH$ 与 $BD$ 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

题型：未知
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