初中数学解答题

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC},\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ },\mathit{AD}=\mathit{CD},O$是对角线 $\mathit{AC}$的中点，连接 $\mathit{BO}$并延长交边 $\mathit{CD}$于点 $E$.

（1）当点 $E$在 $\mathit{CD}$上，①求证: $△\mathit{DAC}\sim △\mathit{OBC}$；②若 $\mathit{BE}\perp \mathit{CD}$，求 $\mathit{AD}:\mathit{BC}$的值；

（2）若 $\mathit{DE}=2,\mathit{OE}=3$，求 $\mathit{CD}$的长.

如图，已知圆内接四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC},\mathit{BD}$交于点 $N$，点 $M$在对角线 $\mathit{BD}$上，且满足 $\angle \mathit{BAM}=\angle \mathit{DAN},\angle \mathit{BCM}=\angle \mathit{DCN}$.求证:

（1） $M$为 $\mathit{BD}$的中点；

（2） $\frac{\mathit{AN}}{\mathit{CN}}=\frac{\mathit{AM}}{\mathit{CM}}$.

如图， $△\mathit{ABC}$是钝角三角形， $\angle A>{90}^{\circ },\odot O$是 $△\mathit{ABC}$的外接圆，直径 $\mathit{PQ}$恰好经过 $\mathit{AB}$的中点 $M,\mathit{PQ}$与 $\mathit{BC}$的交点为 $D,\angle \mathit{CDO}={45}^{\circ },l$为过点 $C$圆的切线，作 $\mathit{DE}\perp l,\mathit{CF}$也为圆的直径.

（1）求证: $△\mathit{CFB}\sim △\mathit{DCE}$；

（2）已知 $\odot O$的半径为 $3$，求 $A{D}^2+C{D}^2$的值.

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的一条弦， $P$是 $\odot O$外一点， $\mathit{PB}$切 $\odot O$于点 $B$， $\mathit{PA}$交 $\odot O$于点 $C$，且 $\mathit{AC}=\mathit{BC},\mathit{PD}\perp \mathit{AB}$于点 $D,E$是 $\mathit{AB}$的中点，求证: $\mathit{PB}=2\mathit{DE}$.

如图，已知 $\odot O$和 $\odot O^{\text{'}}$相交于 $A,B$两点，过点 $A$作 $\odot O^{\text{'}}$的切线交 $\odot O$于点 $C$，过点 $B$作两圆的割线分别交 $\odot O,\odot O^{\text{'}}$于点 $E,F,\mathit{EF}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $P$.

（1）求证: $\mathit{PA}\cdot \mathit{PE}=\mathit{PC}\cdot \mathit{PF}$；

（2）求证: $\mathrm{}\frac{P{E}^2}{P{C}^2}=\frac{\mathit{PF}}{\mathit{PB}}$；

（3）当 $\odot O$与 $\odot O^{\text{'}}$为等圆时，且 $\mathit{PC}:\mathit{CE}:\mathit{EP}=3:4:5$时，求 $△\mathit{PEC}$与 $△\mathit{FAP}$的面积的比值.

已知等腰三角形 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC},\angle C$的平分线与 $\mathit{AB}$边交于点 $P$， $M$为 $△\mathit{ABC}$的内切圆 $\odot I$与 $\mathit{BC}$边的切点，作 $\mathit{MD}//\mathit{AC}$，交 $\odot I$于点 $D$.

证明: $\mathit{PD}$是 $\odot I$的切线.

如图， $△\mathit{ABC}$是 $\odot O$的内接三角形，过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F,\mathit{AE}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{EC}$.

（1）求证: $\angle \mathit{ACF}=\angle B$；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{BC},\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D,\mathit{FC}=4,\mathit{FA}=2$，求 $\mathit{AD}\cdot \mathit{AE}$的值.

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C,D$是 $\odot O$上不同的两点，直线 $\mathit{BD}$交线段 $\mathit{OC}$于点 $E$，交过点 $C$的直线 $\mathit{CF}$于点 $F$，若 $\mathit{OC}=3\mathit{CE}$，且 $9\left(E{F}^2-C{F}^2\right)=O{C}^2$.

（1）求证:直线 $\mathit{CF}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{OD},\mathit{AD},\mathit{AC},\mathit{DC}$，若 $\angle \mathit{COD}=2\angle \mathit{BOC}$.

①求证: $△\mathit{ACD}\sim △\mathit{OBE}$；

②过点 $E$作 $\mathit{EG}//\mathit{AB}$，交线段 $\mathit{AC}$于点 $G$，点 $M$为线段 $\mathit{AC}$的中点，若 $\mathit{AD}=4$，求线段 $\mathit{MG}$的长度.

点 $P$到图形 $Q$（可以是线段、三角形、圆或不规则图形等）的距离是指点 $P$与图形 $Q$中所有点连接的线段中最短线段的长度.如图①中的两个虚线段 $\mathit{PQ}$的长度都表示点 $P$到图形 $Q$的距离.

如图②，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $△\mathit{ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A\left(2,1\right),B\left(0,3\right),C\left(6,3\right)$，点 $P$从原点出发，以每秒 $1$个单位长度的速度向 $x$轴的正方向运动了 $t\text{s}$.

（1）当 $t=0$时，求点 $P$到 $△\mathit{ABC}$的距离；

（2）当点 $P$到 $△\mathit{ABC}$的距离等于线段 $\mathit{AP}$的长度时，求 $t$的取值范围；

（3）当点 $P$到 $△\mathit{ABC}$的距离大于 $\sqrt{5}$时，求 $t$的取值范围.

如图，四边形 $\mathit{ABCD},\mathit{DEFG}$都是正方形，连接 $\mathit{AE},\mathit{CG},\mathit{AE}$与 $\mathit{CG}$相交于点 $M,\mathit{CG}$与 $\mathit{AD}$相交于点 $N$.求证:

（1） $\mathit{AE}=\mathit{CG};$

（2） $\mathit{AN}\cdot \mathit{DN}=\mathit{CN}\cdot \mathit{MN}$.

如图， $\mathit{BD},\mathit{CE}$分别是 $△\mathit{ABC}$的两边上的高，过 $D$作 $\mathit{DG}\perp \mathit{BC}$于点 $G$，分别交 $\mathit{CE}$及 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F,H$.求证:

（1） $D{G}^2=\mathit{BG}\cdot \mathit{CG}$；

（2） $\mathit{BG}\cdot \mathit{CG}=\mathit{GF}\cdot \mathit{GH}$.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{BAC}={90}^{\circ },\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，点 $E$为直角边 $\mathit{AC}$的中点，过点 $D,E$作直线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$.求证: $\mathrm{}\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$.

如图，等边 $△\mathit{ABC}$中， $D,E$分别在 $\mathit{BC},\mathit{AC}$上，且 $\mathit{BD}=\mathit{CE},\mathit{AD},\mathit{BE}$交于点 $F,\mathit{EG}//\mathit{CF}$交于点 $G$，求证: $\mathit{BF}=\mathit{DG}$.

如图，在凸四边形 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{CDA}={300}^{\circ },\mathit{AB}\cdot \mathit{CD}=\mathit{BC}\cdot \mathit{AD}$.求证: $\mathit{AB}\cdot \mathit{CD}=\mathit{AC}\cdot \mathit{BD}$.

如图所示，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$延长线上一点，连接 $\mathit{DE}$，过顶点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{DE}$，垂足为 $F,\mathit{BF}$交边 $\mathit{DC}$于点 $G$.

（1）求证: $\mathit{GD}\cdot \mathit{AB}=\mathit{DF}\cdot \mathit{BG};$

（2）连接 $\mathit{CF}$，求证: $\angle \mathit{CFB}={45}^{\circ }$.