如图所示, AB 是 ⊙ O 的一条弦, P 是 ⊙ O 外一点, PB 切 ⊙ O 于点 B , PA 交 ⊙ O 于点 C ,且 AC = BC , PD ⊥ AB 于点 D , E 是 AB 的中点,求证: PB = 2 DE .
为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图,我国一艘海监船在 A 处巡航时,监测到在正东方向的 B 处有一艘可疑船只正匀速向正北方向航行,我国海监船立即沿北偏东 45 ° 方向对该船只实施拦截,航行 60 nmile 后到达 C 处,发现此时可疑船只在正东方向的 D 处,我国海监船决定改变航向,沿北偏东 60 ° 方向继续加速航行,又航行 60 nmile 后在 E 处将该可疑船只成功拦截(结果保留根号)
(1)求当我国海监船到达 C 处时,离可疑船只的距离 CD ;
(2)成功拦截后,发现整个过程用时 2 h ,求可疑船只的航行速度.
某校开展“阳光体育活动”,开设了以下体育项目:篮球、足球、乒乓球和羽毛球,要求每名学生必须且只能选择其中的一项.为了解选择各种体育项目的学生人数,随机抽取了部分学生进行调查,并对调查获取的数据进行了整理,绘制出以下两幅不完整的统计图.
请根据统计图回答下列问题:
(1)在这次调查中,一共调查了 名学生,其中选择篮球项目的学生有 人.
(2)在扇形统计图中,选择乒乓球项目对应的扇形圆心角为 ° .
(3)若该校共有1000名学生,则该校学生中选择羽毛球项目的大约有 人.
如图,抛物线 y = a x 2 + 2 x + c ( a < 0 ) 与 x 轴交于点 A 和点 B (点 A 在原点的左侧,点 B 在原点的右侧),与 y 轴交于点 C , OB = OC = 3 .
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)如图1,连接 BC ,点 D 是直线 BC 上方抛物线上的点,连接 OD , CD . OD 交 BC 于点 F ,当 S ΔCOF : S ΔCDF = 3 : 2 时,求点 D 的坐标.
(3)如图2,点 E 的坐标为 ( 0 , − 3 2 ) ,点 P 是抛物线上的点,连接 EB , PB , PE 形成的 ΔPBE 中,是否存在点 P ,使 ∠ PBE 或 ∠ PEB 等于 2 ∠ OBE ?若存在,请直接写出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
菱形 ABCD 中、 ∠ BAD = 120 ° ,点 O 为射线 CA 上的动点,作射线 OM 与直线 BC 相交于点 E ,将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转 60 ° ,得到射线 ON ,射线 ON 与直线 CD 相交于点 F .
(1)如图①,点 O 与点 A 重合时,点 E , F 分别在线段 BC , CD 上,请直接写出 CE , CF , CA 三条段段之间的数量关系;
(2)如图②,点 O 在 CA 的延长线上,且 OA = 1 3 AC , E , F 分别在线段 BC 的延长线和线段 CD 的延长线上,请写出 CE , CF , CA 三条线段之间的数量关系,并说明理由;
(3)点 O 在线段 AC 上,若 AB = 6 , BO = 2 7 ,当 CF = 1 时,请直接写出 BE 的长.
如图,在 Rt Δ ABC 中, ∠ C = 90 ° ,点 O , D 分别为 AB , BC 的中点,连接 OD ,作 ⊙ O 与 AC 相切于点 E ,在 AC 边上取一点 F ,使 DF = DO ,连接 DF .
(1)判断直线 DF 与 ⊙ O 的位置关系,并说明理由;
(2)当 ∠ A = 30 ° , CF = 2 时,求 ⊙ O 的半径.