初中数学解答题

如图， $D$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上一点，过点 $D$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，过点 $B$作 $\mathit{BC}\perp \mathit{DE}$交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $C$，垂足为点 $F$.

（1）求证: $\mathit{AB}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}$为 $9\mathrm{，}\sin A=\frac{1}{3}$.

①求线段 $\mathit{BF}$的长；

②求线段 $\mathit{BE}$的长.

某海域有一小岛 $P$，在以 $P$为圆心，半径 $r$为 $10\mathrm{（}3+\sqrt{3}\mathrm{）}$海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在 $A$处测得小岛 $P$位于北偏东 ${60}^{\circ }$的方向上，当海监船行驶 $20\sqrt{2}$海里后到达 $B$处，此时观测小岛 $P$位于 $B$处北偏东 ${45}^{\circ }$方向上.

（1）求 $A\mathrm{，}P$之间的距离 $\mathit{AP}$;

（2）若海监船由 $B$处继续向东航行是否有触礁危险?请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由 $B$处开始沿南偏东至多少度的方向航行能安全通过这一海域?

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC},\mathit{BD}$相交于点 $O$，过点 $O$作 $\mathit{OE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，若 $\mathit{BC}=4,△\mathit{AOE}$的面积为 $6$，求 $\text{cos}\angle \mathit{BOE}$的值.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle B={36}^{\circ },D$为 $\mathit{BC}$上一点， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\mathit{BD}=1$.

（1）求 $\mathit{CD}$的长;

（2）利用此图，求 $\text{sin}{18}^{\circ }$的精确值.

在 $△\mathit{ABC}$中， $a,b,c$分别是 $\angle A,\angle B,\angle C$的对边，且 $c=5\sqrt{3}$，若关于 $x$的方程 $\left(5\sqrt{3}+b\right)x^2+2\mathit{ax}+\left(5\sqrt{3}-b\right)=0$有两个相等的实数根，又方程 $2x^2-\left(10\text{sin}A\right)x+5\text{sin}A=0$的两实数根的平方和为 $6$，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

已知 $△\mathit{ABC}$ 的一边 AC 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+\mathit{mx}+4=0$的两个正整数根之一，且另两边长为 $\mathit{BC}=4,\mathit{AB}=6$，求 $\text{cos}A$的值.

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C,D$是 $\odot O$上两点， $C$是 $\stackrel{⏜}{\mathit{BD}}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{AD}$的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$.

（1）求证: $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线;

（2）若 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{DF}}=\sqrt{6}$，求 $\text{cos}\angle \mathit{ABD}$的值.

如图，已知 $△\mathit{ABC}$中， $D$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{DC}\perp \mathit{AC},\text{cos}\angle \mathit{DCB}=\frac{4}{5}$，求 $\text{sin}A$的值.

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle A={90}^{\circ }$，作 $\mathit{BC}$的垂直平分线交 $\mathit{AC}$于点 $D$，延长 $\mathit{AC}$至点 $E$，使 $\mathit{CE}=\mathit{AB}$.

（1）若 $\mathit{AE}=1$，求 $△\mathit{ABD}$的周长;

（2）若 $\mathit{AD}=\frac{1}{3}\mathit{BD}$，求 $\text{tan}\angle \mathit{ABC}$的值.

如图甲，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{AC}=4\text{cm},\mathit{BC}=3\text{cm}$，如果点 $P$由点 $B$出发沿 $\mathit{BA}$方向向点 $A$匀速运动，同时点 $Q$由点 $A$出发沿 $\mathit{AC}$方向向点 $C$匀速运动，它们的速度均为 $1\text{cm}/\text{s}$.连接 $\mathit{PQ}$，设运动时间为 $t\left(\text{s}\right)(0<t<4)$，解答下列问题:

（1）设 $△\mathit{APQ}$的面积为 $S$，当 $t$为何值时， $S$取得最大值， $S$的最大值是多少?

（2）如图乙，连接 $\mathit{PC}$，将 $△\mathit{PQC}$沿 $\mathit{QC}$翻折，得到四边形 $\mathit{PQ}{P}^{\text{'}}C$，当四边形 $\mathit{PQ}{P}^{\text{'}}C$为菱形时，求 $t$的值；

（3）当 $t$为何值时， $△\mathit{APQ}$是等腰三角形?

如图，已知锐角 $△\mathit{ABC}$的面积为 $1$，正方形 $\mathit{DEFG}$是 $△\mathit{ABC}$的一个内接四边形， $\mathit{DG}//\mathit{BC}$，求正方形 $\mathit{DEFG}$面积的最大值.

图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽 $\mathit{AB}=1.2\text{cm}$，托架斜面长 $\mathit{BD}=6\text{cm}$，它有 $C$到 $F$共4个挡位调节角度，相邻两个挡位间的距离为 $0.8\text{cm}$，挡位 $C$到 $B$的距离为 $2.4\text{cm}$.将某型号手机置于托架上（图2，手机屏幕长 $\mathit{AG}$是 $15\text{cm}$， $O$是支点且 $\mathit{OB}=\mathit{OE}=2.5\text{cm}$（支架的厚度忽略不计）.求:

（1）当支架调到 $E$挡时，点 $G$离水平面的距离 $\mathit{GH}$为多少厘米；

（2）当支架从 $E$挡调到 $F$挡时，点 $D$离水平面的距离下降了多少厘米.

如图，开口向下的抛物线 $y=a{x}^2-8\mathit{ax}+12a$与 $x$轴交于 $A,B$两点，抛物线上另有一点 $C$在第一象限，且使 $△\mathit{OCA}\sim △\mathit{OBC}$.

（1）求 $\mathit{OC}$的长及 $\mathit{BC}:\mathit{AC}$的值；

（2）设直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于 $P$点，点 $C$是 $\mathit{BP}$的中点时，求直线 $\mathit{BP}$和抛物线的解析式.

如图，点 $D$在以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上，过 $D$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $C,\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$于点 $E$，交 $\odot O$于点 $F$，连接 $\mathit{AD},\mathit{FD}$.

（1）求证: $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC};$

（2）求证: $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$；

（3）若 $\text{sin}\angle C=\frac{1}{4},\mathit{AD}=4\sqrt{10}$，求 $\mathit{EF}$的长.

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+4$与两坐标轴分别相交于 $A,B,C$三点.

（1）求证: $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }$；

（2）点 $D$是第一象限内该抛物线上的动点，过点 $D$作 $x$轴的垂线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $x$轴于点 $F$.

①求 $\mathit{DE}+\mathit{BF}$的最大值；

②点 $G$是 $\mathit{AC}$的中点，若以点 $C,D,E$为顶点的三角形与 $△\mathit{AOG}$相似，求点 $D$的坐标.