在 $△\mathit{ABC}$中， $a,b,c$分别是 $\angle A,\angle B,\angle C$的对边，且 $c=5\sqrt{3}$，若关于 $x$的方程 $\left(5\sqrt{3}+b\right)x^2+2\mathit{ax}+\left(5\sqrt{3}-b\right)=0$有两个相等的实数根，又方程 $2x^2-\left(10\text{sin}A\right)x+5\text{sin}A=0$的两实数根的平方和为 $6$，求 $△\mathit{ABC}$的面积.