如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上两点，C是BD⏜的中点

更新 2023-05-05
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C, D$ 是 $⊙ O$ 上两点， $C$ 是 $\overset{⏜}{BD}$ 的中点，过点 $C$ 作 $AD$ 的垂线，垂足为 $E$ ，连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $F$ .

（1）求证: $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线;

（2）若 $\frac{DC}{DF} = \sqrt{6}$ ，求 $cos ∠ ABD$ 的值.

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（1）求证：四边形 $BCFD$ 为平行四边形；

（2）若 $AB = 6$ ，求平行四边形 $BCFD$ 的面积．

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（1）如图1，若 $ΔABC$ 为直角三角形，求 $n$ 的值；

（2）如图1，在（1）的条件下，点 $P$ 在抛物线上，点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，若以 $BC$ 为边，以点 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$ 点的坐标；

（3）如图2，过点 $A$ 作直线 $BC$ 的平行线交抛物线于另一点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ，若 $AE : ED = 1 : 4$ ，求 $n$ 的值．

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如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AD$ 的中点，以点 $E$ 为直角顶点的直角三角形 $EFG$ 的两边 $EF$ ， $EG$ 分别过点 $B$ ， $C$ ， $∠ F = 30 °$ ．

（1）求证： $BE = CE$ ；

（2）将 $ΔEFG$ 绕点 $E$ 按顺时针方向旋转，当旋转到 $EF$ 与 $AD$ 重合时停止转动，若 $EF$ ， $EG$ 分别与 $AB$ ， $BC$ 相交于点 $M$ ， $N$ （如图 $2)$ ．

①求证： $ΔBEM ≅ ΔCEN$ ；

②若 $AB = 2$ ，求 $ΔBMN$ 面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$ 恰好在 $FG$ 上（如图 $3)$ ，求 $\sin ∠ EBG$ 的值．

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