如图，在四边形ABCD中，AD//BC,∠ABC90∘,AD

更新 2023-05-05
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC, ∠ ABC = 90^{\circ}, AD = CD, O$ 是对角线 $AC$ 的中点，连接 $BO$ 并延长交边 $CD$ 于点 $E$ .

（1）当点 $E$ 在 $CD$ 上，①求证: $△ DAC \sim △ OBC$ ；②若 $BE ⊥ CD$ ，求 $AD : BC$ 的值；

（2）若 $DE = 2, OE = 3$ ，求 $CD$ 的长.

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我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点 $M$ 处垂直海面发射，当火箭到达点 $A$ 处时，海岸边 $N$ 处的雷达站测得点 $N$ 到点 $A$ 的距离为8千米，仰角为 $30 °$ ．火箭继续直线上升到达点 $B$ 处，此时海岸边 $N$ 处的雷达测得 $B$ 处的仰角增加 $15 °$ ，求此时火箭所在点 $B$ 处与发射站点 $M$ 处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

题型：未知
难度：未知

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阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式： $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - xy + y^{2})$

立方差公式： $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + xy + y^{2})$

根据材料和已学知识，先化简，再求值： $\frac{3 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} - 8}$ ，其中 $x = 3$ ．

题型：未知
难度：未知

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解不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x ⩽ 6 \\ \frac{3 x + 1}{2} > x \end{matrix}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

题型：未知
难度：未知

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如图，二次函数 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 的图象过原点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $(8, 0)$

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在 $x$ 轴上方作 $x$ 轴的平行线 $y_{1} = m$ ，交二次函数图象于 $A$ 、 $B$ 两点，过 $A$ 、 $B$ 两点分别作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为点 $D$ 、点 $C$ ．当矩形 $ABCD$ 为正方形时，求 $m$ 的值；

（3）在（2）的条件下，动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿射线 $AB$ 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点 $Q$ 以相同的速度从点 $A$ 出发沿线段 $AD$ 匀速运动，到达点 $D$ 时立即原速返回，当动点 $Q$ 返回到点 $A$ 时， $P$ 、 $Q$ 两点同时停止运动，设运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．过点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，交抛物线于点 $E$ ，交直线 $AC$ 于点 $F$ ，问：以 $A$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $Q$ 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出 $t$ 的值；若不能，请说明理由．

题型：未知
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如图1，已知 $⊙ O$ 外一点 $P$ 向 $⊙ O$ 作切线 $PA$ ，点 $A$ 为切点，连接 $PO$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $B$ ，连接 $AO$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ PB$ ，分别交 $PB$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ．

（1）求证： $ΔAPO ~ ΔDCA$ ；

（2）如图2，当 $AD = AO$ 时

①求 $∠ P$ 的度数；

②连接 $AB$ ，在 $⊙ O$ 上是否存在点 $Q$ 使得四边形 $APQB$ 是菱形．若存在，请直接写出 $\frac{PQ}{CQ}$ 的值；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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