如图， 已知直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 与拋物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+6$ 交于 $A\mathrm{，}B$两点.

（1）求 $A,B$两点的坐标；

（2）求线段 $\mathit{AB}$的垂直平分线的解析式；

（3）取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上移动，动点 $P$将与 $A,B$构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点 $P$的坐标；如果不存在，请简要说明理由.